上册 2.1 函数的连续性 第19题
📝 题目
19．证明下列的结论．
（1）设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 有介值性，而且 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，$\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant K$（正常数），$x \in(a, b)$ ，证明 $f(x)$ 在 $x=a$ 右连续（同理在点 $b$ 左连续）。
（2）设函数 $f(x)$ 是区间 $\mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数，定义：$g(x)=f(x+0)$ ．证明函数 $g(x)$ 在区间 $\mathbf{R}=(-\infty,+\infty)$ 上每一点都右连续。北京交大 2006，江苏大学 2006）
（3）设 $f(x)$ 在 $I$ 上只有可去间断点，则 $m(x)=\lim _{v \rightarrow x} f(y)$ 是连续函数．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta=\frac{\varepsilon}{2 K}$ ，当 $x \in(a, a+\delta)$ 时，若 $f(x) \equiv f(a)$ ，则 $f(x)$ 在 $a$ 点右连续．否则，$\exists x_{0} \in(a, a+\delta), f\left(x_{0}\right) \neq f(a),\left(\right.$ 不妨设 $\left.f\left(x_{0}\right)0$ ，存在正数 $\delta$ ，当 $00$ ，存在正数 $\delta$ ，当 $0<\left|y-x_{0}\right|<\delta$时，有
$$
g\left(x_{0}\right)-\frac{\varepsilon}{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明右连续：构造δ并分情况讨论
要证 $f(x)$ 在 $x=a$ 右连续，即 $
\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$，当 $x \in (a, a+\delta)$ 时，$|f(x)-f(a)|<\varepsilon$。取 $\delta = \frac{\varepsilon}{2K}$。若 $f(x) \equiv f(a)$ 在 $(a, a+\delta)$ 内恒成立，则显然 $|f(x)-f(a)|=0<\varepsilon$，右连续成立。否则，存在 $x_0 \in (a, a+\delta)$ 使得 $f(x_0) \neq f(a)$。不妨设 $f(x_0) < f(a)$。
提示：注意分情况讨论：恒等或存在不等点。
步骤 2/8
目标：利用介值性找到中间点
取 $\mu$ 满足 $f(x_0) < \mu < f(a)$ 且 $|f(a)-\mu| < \frac{\varepsilon}{2}$。由介值性，存在 $x_1 \in (a, x_0)$ 使得 $f(x_1)=\mu$。
公式：介值性：若 $f$ 在区间上具有介值性，则对介于 $f(a)$ 和 $f(x_0)$ 之间的任何值，存在 $x_1$ 使得 $f(x_1)$ 等于该值。
提示：注意 $x_1$ 在 $a$ 和 $x_0$ 之间，且 $x_1$ 依赖于 $\mu$。
步骤 3/8
目标：利用导数有界估计差值
对任意 $x \in (a, a+\delta)$，有
$$
|f(x)-f(a)| \leq |f(x)-f(x_1)| + |f(x_1)-f(a)|.
$$
由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x$ 和 $x_1$ 之间，使得 $|f(x)-f(x_1)| = |f'(\xi)| \cdot |x-x_1| \leq K \cdot |x-x_1|$。由于 $x, x_1 \in (a, a+\delta)$，有 $|x-x_1| < \delta = \frac{\varepsilon}{2K}$，故 $|f(x)-f(x_1)| < K \cdot \frac{\varepsilon}{2K} = \frac{\varepsilon}{2}$。而 $|f(x_1)-f(a)| = |\mu - f(a)| < \frac{\varepsilon}{2}$。因此 $|f(x)-f(a)| < \varepsilon$。
公式：拉格朗日中值定理：$|f(x)-f(x_1)| = |f'(\xi)| \cdot |x-x_1|$
提示：注意 $x$ 和 $x_1$ 都在 $(a, a+\delta)$ 内，所以 $|x-x_1| < \delta$。
步骤 4/8
目标：总结右连续并说明左连续类似
由 $\varepsilon$ 的任意性，$f(x)$ 在 $x=a$ 右连续。同理可证 $f(x)$ 在 $x=b$ 左连续。
提示：左连续证明类似，取 $\delta = \frac{\varepsilon}{2K}$ 并利用左邻域。
步骤 5/8
目标：证明g(x)右连续：利用单调函数性质
由于 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调，故每点右极限存在，$g(x)=f(x+0)$ 处处有定义。取 $x_0 \in \mathbb{R}$，对 $\forall \varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0
公式：右极限定义：$g(x_0)=\lim_{y \to x_0^+} f(y)$
提示：注意 $g(x_0)$ 是右极限，不等式在右邻域内成立。
步骤 6/8
目标：对任意x在右邻域内，利用极限不等式得到g(x)的界
任取 $x \in (x_0, x_0+\delta)$，存在 $\eta>0$ 使得 $(x, x+\eta) \subset (x_0, x_0+\delta)$。则当 $y \in (x, x+\eta)$ 时，上述不等式成立。由极限不等式性质，取极限 $y \to x^+$ 得
$$
g(x_0)-\frac{\varepsilon}{2} \leq g(x) = \lim_{y \to x^+} f(y) \leq g(x_0)+\frac{\varepsilon}{2}.
$$
因此 $|g(x)-g(x_0)| < \varepsilon$。故 $g(x)$ 在 $x_0$ 右连续。
公式：极限不等式：若 $a \leq f(y) \leq b$，则 $a \leq \lim f(y) \leq b$
提示：注意极限不等式保号性，等号可能成立，但最终不等式严格。
步骤 7/8
目标：证明m(x)连续：利用可去间断点定义
设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上只有可去间断点，则每点极限存在，$m(x)=\lim_{y \to x} f(y)$ 在 $I$ 上有定义。取 $x_0 \in I$，对 $\forall \varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<|y-x_0|<\delta$ 时，有 $m(x_0)-\frac{\varepsilon}{2} < f(y) < m(x_0)+\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：可去间断点定义：$\lim_{y \to x} f(y)$ 存在但可能不等于 $f(x)$
提示：注意 $m(x_0)$ 是极限值，不等式在去心邻域内成立。
步骤 8/8
目标：对任意x在邻域内，利用极限不等式得到m(x)的界
任取 $x \in U^\circ(x_0, \delta)$，存在 $\eta>0$ 使得 $U(x, \eta) \subset U^\circ(x_0, \delta)$。则当 $y \in U(x, \eta)$ 时，上述不等式成立。由极限不等式性质，取极限 $y \to x$ 得
$$
m(x_0)-\frac{\varepsilon}{2} \leq m(x) = \lim_{y \to x} f(y) \leq m(x_0)+\frac{\varepsilon}{2}.
$$
因此 $|m(x)-m(x_0)| < \varepsilon$。故 $m(x)$ 在 $x_0$ 连续。
公式：极限不等式
提示：注意 $x$ 在去心邻域内，但 $m(x)$ 定义包含 $x$ 本身。
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