上册 2.1 函数的连续性 第22题

\section*{证明过程：} （1）方法 1：用致密性定理证明 反证法。设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，但无界，则存在点列 $\left\{x_{n}\right\}, x_{n} \in[a, b]$ ，满足 $\left|f\left(x_{n}\right)\right|>n$ ，即 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ 。由致密性定理，存在子列 $\left\{x_{n_{k}}\right\}, \lim _{k \rightarrow x} x_{n_{k}}=\xi$ ，且 $\xi \in[a, b]$ 。因为 $f(x)$ 在点 $\xi$ 连续，所以有 $\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{n_{k}}\right)=f(\xi)$ 。这与 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ 产生矛盾，所以 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。 方法2：用有限覆盖定理证明 由局部有界性，对每一点 $x^{\prime} \in[a, b]$ 都存在邻域 $U\left(x^{\prime}, \delta_{x^{\prime}}\right)$ 及正数 $M_{x^{\prime}}$ 使 $|f(x)| \leqslant M_{x^{\prime}}, x \in U\left(x^{\prime} ; \delta_{x^{\prime}}\right) \cap[a, b]$ ． 考虑开区间集 $H=\left\{U\left(x^{\prime} ; \delta_{x^{\prime}}\right) \mid x^{\prime} \in[a, b]\right\} . H$ 是 $[a, b]$ 的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在 $H$ 的一个有限点集 $H^{*}=\left\{U\left(x_{i}^{\prime} ; \delta_{x_{i}^{\prime}}\right) \mid x_{i}^{\prime} \in[a, b], i=1,2, \cdots, k\right\}$ 也覆盖 $[a, b]$ ，且存在正整数 $M_{1}, M_{2}, \cdots, M_{k}$ 使对一切 $x \in U\left(x_{i}^{\prime} ; \delta_{x_{i}^{\prime}}\right) \cap[a, b]$ 有 $|f(x)| \leqslant M_{i}, i=1,2, \cdots, k$ ． 令 $M=\max _{1 \leqslant i \leqslant k} M_{i}$ ，则对 $\forall x \in[a, b], x$ 必属于某 $U\left(x_{i}^{\prime} ; \delta_{x_{i}^{\prime}}\right)$ 。于是 $|f(x)| \leqslant M_{i} \leqslant M$ ，即 $f(x)$ 在 $[a, b]$上有界。 $(2 \sim 5)$ 与（1）相同。 （6）已知函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上无界，将 $[a, b]$ 二等分，则函数 $f(x)$ 至少在其中之一闭区间上无界，否则与函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上无界矛盾。将其中 $f(x)$ 无界的闭区间记为 $\left[a_{1}, b_{1}\right]$ 。再将 $\left[a_{1}, b_{1}\right]$ 二等分，则函数 $f(x)$ 至少在其中之一闭区间上无界，记为 $\left[a_{2}, b_{2}\right]$ 。如此继续下去，得闭区间列 $\left\{\left[a_{n}, b_{n}\right]\right\}$ ，且满足下列条件： （1）$\left[a_{n+1}, b_{n+1}\right] \subset\left[a_{n}, b_{n}\right]$ ；（2）$\displaystyle b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}$ ；（3）函数 $f(x)$ 在 $\left[a_{n}, b_{n}\right]$ 上无界，$n=1,2, \cdots$ 。由闭区间套定理，存在唯一的 $\xi \in\left[a_{n}, b_{n}\right], n=1,2, \cdots$ ．因为 $\xi$ 的任何邻域 $(\xi-\varepsilon, \xi+\varepsilon)$ 内闭含有某个 $\left[a_{n}, b_{n}\right]$ ，所以 $f(x)$ 在 $(\xi-\varepsilon, \xi+\varepsilon)$ 无界。 （7）（1）因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上无界，故 $\forall M>0, \exists x \in[a, b]$ ，使 $|f(x)|>M$ 。 让 $M$ 依次取 $1,2,3, \cdots$ ，相应地 $\exists x_{n} \in[a, b](n=1,2, \cdots)$ ，使得 $\left|f\left(x_{n}\right)\right|>n$ 。故 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ 。 （2）由致密性定理，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 存在收敛子列 $\left\{x_{n_{1}}\right\}$ ，设为 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_{1}}=c \in[a, b]$ ．对 $\forall \delta>0, \exists K_{1}>0$ ，当 $k>K_{1}$ 时，$x_{n_{k}} \in U(c ; \delta) \cap[a, b]$ ． 另一方面，因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ ，故 $\forall M>0, \exists K_{2}>0$ ，当 $k>K_{2}$ 时，有 $\left|f\left(n_{k}\right)\right|>M$ 。 综上，当 $k>K=\max \left\{K_{1}, K_{2}\right\}$ 时，有 $x_{n_{k}} \in U(c ; \delta) \cap[a, b],\left|f\left(n_{k}\right)\right|>M$ 。故 $f(x)$ 在 $U(c ; \delta) \cap[a, b]$上无界。