上册 2.1 函数的连续性 第23题
📝 题目
23．证明下列命题。
（1）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上至多只有第一类间断点，且 $\forall x, y \in(a, b)$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}$ ．证明：$f(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续。
（2）若 $f(x)$ 是定义在 $(a, b)$ 上的凸函数，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上内闭一致连续．
（3）若 $f(x)$ 是定义在 $[a, b]$ 上的凸函数，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 内有界．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）（2）（3）采用同一方法证明。
因为 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内至多只有第一类间断点，所以 $\forall x_{0} \in(a, b)$ ，则 $f\left(x_{0}+0\right), f\left(x_{0}-0\right)$ 存在．只需证明 $f\left(x_{0}+0\right)=f\left(x_{0}-0\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。
在已知不等式中，令 $x=x_{0}$ ，以 $y \rightarrow x_{0}^{+}$与 $y \rightarrow x_{0}^{-}$取极限得
$$
\begin{gathered}
f\left(x_{0}+0\right) \leqslant \frac{f\left(x_{0}\right)}{2}+\frac{f\left(x_{0}+0\right)}{2}, f\left(x_{0}-0\right) \leqslant \frac{f\left(x_{0}\right)}{2}+\frac{f\left(x_{0}-0\right)}{2} . \\
f\left(x_{0}+0\right) \leqslant f\left(x_{0}\right) \text { 与 } f\left(x_{0}-0\right) \leqslant f\left(x_{0}\right) .
\end{gathered}
$$
即
再令 $x=x_{0}+h, y=x_{0}-h$ ，并以 $h \rightarrow 0^{+}$取极限得
$$
f\left(x_{0}\right) \leqslant \frac{1}{2}\left(f\left(x_{0}+0\right)+f\left(x_{0}-0\right)\right)
$$
由上述三个不等式得 $f\left(x_{0}+0\right)=f\left(x_{0}-0\right)=f\left(x_{0}\right)$ ．故 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 上连续．由 $x_{0}$ 的任意性，$f(x)$在 $(a, b)$ 上连续，当然 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上内闭一致连续。
若 $f(x)$ 是定义在 $[a, b]$ 上的凸函数，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 内连续，从而有界．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件与目标
题目（1）中，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 上至多只有第一类间断点，且满足中点凸性：$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$。要证明 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续。由于只有第一类间断点，只需证明在任意点 $x_0$ 处左右极限等于函数值。
提示：注意第一类间断点的定义：左右极限存在但不一定等于函数值。
步骤 2/6
目标：利用中点凸性得到左右极限与函数值的不等式
对任意 $x_0 \in (a,b)$，令 $x = x_0$，$y \to x_0^+$，由中点凸性得 $f\left(\frac{x_0+y}{2}\right) \leq \frac{f(x_0)+f(y)}{2}$。取极限 $y \to x_0^+$，由于 $f$ 在 $x_0$ 处右极限存在，且 $\frac{x_0+y}{2} \to x_0^+$，故 $f\left(\frac{x_0+y}{2}\right) \to f(x_0+0)$，从而 $f(x_0+0) \leq \frac{f(x_0)+f(x_0+0)}{2}$，整理得 $f(x_0+0) \leq f(x_0)$。同理，令 $y \to x_0^-$ 得 $f(x_0-0) \leq f(x_0)$。
公式：$f\left(\frac{x_0+y}{2}\right) \leq \frac{f(x_0)+f(y)}{2}$
提示：取极限时注意左右极限的存在性，以及中点趋近于 $x_0$ 的方向。
步骤 3/6
目标：利用中点凸性得到函数值与左右极限的不等式
令 $x = x_0 + h$，$y = x_0 - h$，其中 $h > 0$ 足够小使得 $x,y \in (a,b)$。由中点凸性得 $f(x_0) = f\left(\frac{(x_0+h)+(x_0-h)}{2}\right) \leq \frac{f(x_0+h)+f(x_0-h)}{2}$。令 $h \to 0^+$，则 $f(x_0+h) \to f(x_0+0)$，$f(x_0-h) \to f(x_0-0)$，从而 $f(x_0) \leq \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$。
公式：$f(x_0) \leq \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$
提示：注意 $h \to 0^+$ 时，$x_0+h$ 和 $x_0-h$ 分别从左右趋近于 $x_0$。
步骤 4/6
目标：综合不等式证明连续性
由前两步得到 $f(x_0+0) \leq f(x_0)$，$f(x_0-0) \leq f(x_0)$ 和 $f(x_0) \leq \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$。由于 $f(x_0+0)$ 和 $f(x_0-0)$ 均不超过 $f(x_0)$，故 $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} \leq f(x_0)$。结合 $f(x_0) \leq \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$，得 $f(x_0) = \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$。又因为 $f(x_0+0) \leq f(x_0)$ 且 $f(x_0-0) \leq f(x_0)$，若其中一个严格小于 $f(x_0)$，则平均值小于 $f(x_0)$，矛盾。因此 $f(x_0+0) = f(x_0-0) = f(x_0)$，即 $f$ 在 $x_0$ 处连续。由 $x_0$ 任意性，$f$ 在 $(a,b)$ 上连续。
提示：注意不等式推导的严密性，利用平均值不等式得到相等关系。
步骤 5/6
目标：证明凸函数内闭一致连续
（2）若 $f$ 是 $(a,b)$ 上的凸函数，则 $f$ 在 $(a,b)$ 内连续（凸函数在开区间内连续）。对于任意闭子区间 $[c,d] \subset (a,b)$，$f$ 在 $[c,d]$ 上连续，从而一致连续。因此 $f$ 在 $(a,b)$ 上内闭一致连续。
提示：凸函数在开区间内连续是已知结论，但需注意证明中可引用。
步骤 6/6
目标：证明闭区间上凸函数有界
（3）若 $f$ 是 $[a,b]$ 上的凸函数，则 $f$ 在 $(a,b)$ 内连续，且端点处单侧极限存在（凸函数在闭区间端点处可能不连续，但单侧极限存在）。实际上，凸函数在闭区间上连续（可证），从而有界。或者直接利用凸函数性质：在 $[a,b]$ 上，$f$ 的最大值在端点取得，最小值在内部某点取得，因此有界。
提示：注意凸函数在闭区间上不一定连续？实际上凸函数在开区间内连续，在闭区间端点可能不连续，但本题中定义在闭区间上，通常凸函数在闭区间上连续（可证明）。
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