上册 2.1 函数的连续性 第24题
📝 题目
24．证明下列结论。
（1）证明：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在最大值和最小值．
（2）用有限覆盖定理证明：对 $[a, b]$ 上的恒正连续函数 $f(x)$ ，存在常数 $C>0$ ，使 $f(x)>C, \forall x \in[a, b]$.
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）这是闭区间上连续函数最值定理，证明见数学分析教材。
（2）采用题 22 的方法可证明 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，从而有下确界。再由致密性定理得 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可达最小值．记 $C=\min _{[a, b]} f(x)$ ，则 $f(x) \geqslant C>0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明闭区间上连续函数有界
由连续函数局部有界性，对每个 $x \in [a,b]$，存在邻域 $U(x)$ 使得 $f$ 在 $U(x)$ 上有界。这些邻域覆盖 $[a,b]$，由有限覆盖定理，存在有限个邻域覆盖 $[a,b]$，取各邻域上界的最大值即得 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。
提示：注意有限覆盖定理的应用：将无限覆盖简化为有限覆盖，从而得到整体有界性。
步骤 2/3
目标：证明下确界可达
设 $m = \inf_{x \in [a,b]} f(x)$，由下确界定义，存在数列 $\{x_n\} \subset [a,b]$ 使得 $f(x_n) \to m$。由致密性定理，$\{x_n\}$ 有收敛子列 $\{x_{n_k}\}$ 收敛于 $x_0 \in [a,b]$。由 $f$ 连续，$f(x_0) = \lim f(x_{n_k}) = m$，故 $m$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最小值。
公式：致密性定理：有界数列必有收敛子列。
提示：注意下确界不一定可达，需要利用连续性证明可达。
步骤 3/3
目标：得到最小值大于零
由 $f(x) > 0$ 恒成立，且 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，由步骤2知 $f$ 在 $[a,b]$ 上取得最小值 $m$，且 $m = f(x_0) > 0$。取 $C = m$，则 $f(x) \geq C > 0$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立。
提示：注意最小值点 $x_0$ 处函数值严格大于0，因此 $C$ 可取为最小值。
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