上册 2.1 函数的连续性 第25题
📝 题目
25．一个函数 $f(x):[a, b] \rightarrow \mathbf{R}$ 称作上半连续的，假如对给定的 $x \in[a, b]$ 及 $\varepsilon>0$ ，存在一个 $\delta>0$ ，使得若 $y \in[a, b],|y-x|<\delta$ ，则 $f(x)
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
由上半连续的定义，对给定的 $\varepsilon>0$ ，每一点 $x^{\prime} \in[a, b]$ ，都存在一个邻域 $U\left(x^{\prime}, \delta_{x^{\prime}}\right)$ ，使当
$x \in U\left(x^{\prime}, \delta_{x^{\prime}}\right) \cap[a, b]$ 时，$f(x) \leqslant f\left(x^{\prime}\right)+\varepsilon$ ．
考虑开区间集 $H=\left\{U\left(x^{\prime} ; \delta_{x^{\prime}}\right) \mid x^{\prime} \in[a, b]\right\} . H$ 是 $[a, b]$ 的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在 $H$ 的一个有限点集 $H^{*}=\left\{U\left(x_{i}^{\prime} ; \delta_{x^{\prime}}\right) \mid x_{i}^{\prime} \in[a, b], i=1,2, \cdots, k\right\}$ 也覆盖 $[a, b]$ 。
令 $M=\max _{1
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用上半连续定义构造开覆盖
由上半连续的定义，对任意给定的 $\varepsilon>0$，每一点 $x' \in [a,b]$，都存在一个邻域 $U(x', \delta_{x'})$，使得当 $x \in U(x', \delta_{x'}) \cap [a,b]$ 时，有 $f(x) < f(x') + \varepsilon$。考虑开区间集 $H = \{ U(x', \delta_{x'}) \mid x' \in [a,b] \}$，则 $H$ 是 $[a,b]$ 的一个开覆盖。
提示：注意上半连续定义中的严格不等式 $f(x) < f(y) + \varepsilon$，这里我们取 $y = x'$，得到 $f(x) < f(x') + \varepsilon$。
步骤 2/7
目标：应用有限开覆盖定理
由于 $[a,b]$ 是紧集，由有限开覆盖定理，存在 $H$ 的一个有限子覆盖 $H^* = \{ U(x_i', \delta_{x_i'}) \mid i=1,2,\dots,k \}$ 覆盖 $[a,b]$。
公式：有限开覆盖定理
提示：有限开覆盖定理是实数理论中的重要定理，确保存在有限个开区间覆盖闭区间。
步骤 3/7
目标：证明函数有上界
令 $M = \max_{1 \le i \le k} \{ f(x_i') + \varepsilon \}$。对任意 $x \in [a,b]$，存在某个 $i$ 使得 $x \in U(x_i', \delta_{x_i'})$，从而 $f(x) < f(x_i') + \varepsilon \le M$。因此 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有上界 $M$。
提示：注意 $M$ 依赖于 $\varepsilon$，但只需证明存在某个上界即可。
步骤 4/7
目标：定义上确界并构造点列
由 $f$ 有上界，定义 $\xi = \sup_{[a,b]} f(x)$。由上确界定义，存在点列 $\{x_n\} \subset [a,b]$ 使得 $\xi - \frac{1}{n} < f(x_n) < \xi$，从而 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \xi$。
公式：上确界定义
提示：注意 $f(x_n)$ 严格小于 $\xi$，但可以无限接近。
步骤 5/7
目标：利用致密性定理取收敛子列
由致密性定理（Bolzano-Weierstrass定理），有界点列 $\{x_n\}$ 存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，记 $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0$，则 $x_0 \in [a,b]$。
公式：致密性定理
提示：致密性定理保证闭区间上的有界点列必有收敛子列。
步骤 6/7
目标：利用上半连续性得到不等式
由 $f$ 的上半连续性，对 $\varepsilon_k = \frac{1}{n_k}$，存在 $\delta > 0$，当 $|x_{n_k} - x_0| < \delta$ 时，有 $f(x_{n_k}) < f(x_0) + \frac{1}{n_k}$。由于 $x_{n_k} \to x_0$，当 $k$ 充分大时此式成立。
公式：上半连续定义
提示：注意上半连续定义中 $\varepsilon$ 是任意正数，这里取 $\varepsilon = 1/n_k$。
步骤 7/7
目标：推导 $f(x_0) = \xi$
由 $f(x_{n_k}) < f(x_0) + \frac{1}{n_k}$ 和 $\xi - \frac{1}{n_k} < f(x_{n_k})$，得 $\xi - \frac{1}{n_k} < f(x_0) + \frac{1}{n_k}$，即 $\xi < f(x_0) + \frac{2}{n_k}$。令 $k \to \infty$，得 $\xi \le f(x_0)$。又 $f(x_0) \le \xi$（因为 $\xi$ 是上确界），故 $f(x_0) = \xi$。因此 $f$ 在 $x_0$ 处达到最大值。
提示：注意不等式的方向：由 $\xi - 1/n_k < f(x_{n_k})$ 和 $f(x_{n_k}) < f(x_0) + 1/n_k$ 推出 $\xi < f(x_0) + 2/n_k$。
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