上册 2.1 函数的连续性 第26题
📝 题目
26．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，且 $f(a+0)$ 与 $f(b-0)$ 为有限值．证明：（1）$f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界；（2）若存在 $\eta \in(a, b)$ ，使得 $f(\eta) \leqslant \min \{f(a+0), f(b-0)\}$ ，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内能取得最小值．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续， $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=c$ ，当 $c$ 为有限值时，证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$内取得最大值或最小值．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）令 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}f(a+0), x=a, \\ f(x), x \in(a, b), \\ f(b-0), x=b,\end{array}\right.$ 则 $F(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续．从而 $F(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有界。于是 $F(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 上也有界，亦即 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上有界。
又由闭区间上连续函数的最值性定理，$F(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 内有最小值．又因 $f(a+0)$ 与 $f(b-0)$ 不是最小值，即 $F(x)$ 的最小值在开区间 $(a, b)$ 内取到，亦即 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内取到最小值．
（2）若 $f(x) \equiv c$ ，则结论成立；否则，存在一点 $x_{0} \in(a, b)$ 使 $f\left(x_{0}\right) \neq c$ 。
令 $\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{l}c, x=a, \\ f(x), x \in(a, b), \text { 则 } \tilde{f}(x) \text { 在闭区间 }[a, b] \text { 连续。由最值定理，} \tilde{f}(x) \text { 在闭区间 }[a, b] \text { 上可 } \\ c, x=b,\end{array}\right.$
取得最大值及最小值．若 $f\left(x_{0}\right)>c$ ，则 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内取得最大值．若 $f\left(x_{0}\right)
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造闭区间上的连续函数
定义函数 $F(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上：
$$F(x)=\begin{cases} f(a+0), & x=a \\ f(x), & x\in(a,b) \\ f(b-0), & x=b \end{cases}$$
由于 $f$ 在 $(a,b)$ 内连续，且 $f(a+0)$ 和 $f(b-0)$ 为有限值，故 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续。
提示：注意 $f(a+0)$ 和 $f(b-0)$ 是单侧极限，需确保它们有限，否则 $F$ 在端点可能不连续。
步骤 2/5
目标：证明 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界
由闭区间上连续函数的有界性定理，$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。因此 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 上也有界，而 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 上等于 $f(x)$，故 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界。
提示：有界性定理要求函数在闭区间上连续，这里通过延拓满足条件。
步骤 3/5
目标：证明 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内能取得最小值
由闭区间上连续函数的最值定理，$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上取得最小值。已知存在 $\eta\in(a,b)$ 使得 $f(\eta)\leq\min\{f(a+0),f(b-0)\}$，即 $F(\eta)\leq F(a)$ 且 $F(\eta)\leq F(b)$，故最小值点不能在端点 $a$ 或 $b$ 处取得，必在 $(a,b)$ 内某点 $x_0$ 取得。因此 $f(x_0)$ 是 $f$ 在 $(a,b)$ 内的最小值。
提示：注意条件 $f(\eta)\leq\min\{f(a+0),f(b-0)\}$ 保证了端点不是最小值点，否则最小值可能在端点。
步骤 4/5
目标：处理第二问：构造延拓函数
若 $f(x)\equiv c$，则最大值和最小值都是 $c$，结论成立。否则存在 $x_0\in(a,b)$ 使得 $f(x_0)\neq c$。定义 $\tilde{f}(x)$ 在 $[a,b]$ 上：
$$\tilde{f}(x)=\begin{cases} c, & x=a \\ f(x), & x\in(a,b) \\ c, & x=b \end{cases}$$
由 $\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to b^-}f(x)=c$ 知 $\tilde{f}$ 在 $[a,b]$ 上连续。
提示：注意 $\tilde{f}$ 在端点处取值为 $c$，与极限值一致，保证连续性。
步骤 5/5
目标：利用最值定理并分类讨论
由最值定理，$\tilde{f}$ 在 $[a,b]$ 上取得最大值和最小值。由于 $\tilde{f}(a)=\tilde{f}(b)=c$，而 $\tilde{f}(x_0)=f(x_0)\neq c$，故最值点不能在两个端点同时取得（除非 $f\equiv c$）。
- 若 $f(x_0)>c$，则 $\tilde{f}(x_0)>c$，最大值必在 $(a,b)$ 内某点取得，即 $f$ 在 $(a,b)$ 内取得最大值。
- 若 $f(x_0)
提示：注意分类讨论的依据是 $f(x_0)$ 与 $c$ 的大小关系，确保最值点不在端点。
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