上册 2.1 函数的连续性 第27题
📝 题目
27．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续， $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=+\infty$ ．证明：$f(x)$ 在 $(a, b)$ 内取得最小值．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续， $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=-\infty$ ．证明：$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内取得最大值．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $\displaystyle c=\frac{a+b}{2}$ ．由于 $f(a+0)=f(b-0)=+\infty$ ，则
存在 $\delta_{1}>0$ ，使得当 $x \in\left(a, a+\delta_{1}\right)$ 时，有 $f(x)>f(c)$ ，取 $x_{1}f(c)$ ；
存在 $\delta_{2}>0$ ，使得当 $x \in\left(b-\delta_{2}, b\right)$ 时，有 $f(x)>f(c)$ ，取 $x_{2}>c$ ，使 $f\left(x_{2}\right)>f(c)$ ．
由于 $f(x)$ 在 $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ 上连续，所以 $f(x)$ 在 $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ 上取最小值，即存在 $x_{0} \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ，当 $x \in\left[x_{1}, x_{2}\right]$时，有 $f\left(x_{0}\right) \leqslant f(x)$ 。又当 $x \in\left(a, x_{1}\right)$ 或 $x \in\left(x_{2}, b\right)$ 时，有 $f(x)>f(c)$ ，于是对任意 $x \in(a, b)$ ，有 $f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)$ ．而 $x_{0} \in\left(x_{1}, x_{2}\right) \subset(a, b)$ ，故 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有最小值．
（2）令 $g(x)=-f(x)$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} g(x)=+\infty$ ．由（1）知 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 内取得最小值．于是 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内取得最大值．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造闭区间并利用极限定义
取中点 $c = \frac{a+b}{2}$。由于 $\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty$，存在 $\delta_1 > 0$ 使得当 $x \in (a, a+\delta_1)$ 时 $f(x) > f(c)$。取 $x_1 \in (a, a+\delta_1)$ 且 $x_1 < c$，则 $f(x_1) > f(c)$。同理，存在 $\delta_2 > 0$ 使得当 $x \in (b-\delta_2, b)$ 时 $f(x) > f(c)$，取 $x_2 \in (b-\delta_2, b)$ 且 $x_2 > c$，则 $f(x_2) > f(c)$。
提示：注意 $x_1$ 和 $x_2$ 的选取要保证 $x_1 < c < x_2$，以便后续闭区间包含 $c$。
步骤 2/5
目标：在闭区间上应用最值定理
由于 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，特别地在 $[x_1, x_2]$ 上连续。根据闭区间上连续函数的最值定理，$f(x)$ 在 $[x_1, x_2]$ 上取得最小值，即存在 $x_0 \in [x_1, x_2]$ 使得对任意 $x \in [x_1, x_2]$ 有 $f(x_0) \leq f(x)$。
提示：最值定理要求闭区间，因此必须构造闭区间 $[x_1, x_2]$。
步骤 3/5
目标：证明 $x_0$ 是全局最小值点
当 $x \in (a, x_1)$ 时，由 $x_1$ 的取法知 $f(x) > f(c)$；当 $x \in (x_2, b)$ 时，由 $x_2$ 的取法知 $f(x) > f(c)$。又因为 $c \in [x_1, x_2]$，所以 $f(c) \geq f(x_0)$，从而 $f(x) > f(c) \geq f(x_0)$。因此对任意 $x \in (a,b)$，有 $f(x) \geq f(x_0)$，且 $x_0 \in (a,b)$，故 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内取得最小值。
提示：注意 $f(c) \geq f(x_0)$ 是因为 $x_0$ 是 $[x_1,x_2]$ 上的最小值点，而 $c$ 在该区间内。
步骤 4/5
目标：利用负变换证明第二部分
令 $g(x) = -f(x)$，则 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续，且 $\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$，同理 $\lim_{x \to 1^-} g(x) = +\infty$。由（1）的结论，$g(x)$ 在 $(0,1)$ 内取得最小值，即存在 $x_0 \in (0,1)$ 使得 $g(x_0) \leq g(x)$ 对所有 $x \in (0,1)$ 成立。
提示：注意极限符号的变化：$\lim (-f) = -\lim f$。
步骤 5/5
目标：转化回原函数得到最大值
由 $g(x_0) \leq g(x)$ 得 $-f(x_0) \leq -f(x)$，即 $f(x_0) \geq f(x)$ 对所有 $x \in (0,1)$ 成立。因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内取得最大值 $f(x_0)$。
提示：注意不等号方向反转。
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