上册 2.1 函数的连续性 第28题

解题过程： （1）不妨 记 $\lim _{x \rightarrow+x} f(x)=A$ ，对 $\varepsilon=1$ ，存在正数 $M_{1}$ ，当 $x>M_{1}$ 时，有 $|f(x)-A|<1$ ，从而 $|f(x)|<|A|+1$ ． 不妨记 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=B$ ，对 $\varepsilon=1$ ，存在正数 $M_{2}$ ，当 $x<-M_{2}$ 时，有 $|f(x)-B|<1$ ，从而 $|f(x)|<|B|+1$. 又因 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，故 $f(x)$ 在 $\left[-M_{2}, M_{1}\right]$ 上连续．由连续函数有界性，存在正数 $G_{1}$ ，对任给 $x \in\left[-M_{2}, M_{1}\right]$ ，有 $|f(x)| \leqslant G_{1}$ 。 取 $G=\max \left\{G_{1},|A|+1,|B|+1\right\}$ ，则对任何 $x \in(-\infty,+\infty)$ 有 $|f(x)| \leqslant G$ ．故 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界。 （2）不妨记 $\lim _{x \rightarrow a^{\cdot}} f(x)=A$ ，对 $\varepsilon=1$ ，存在正数 $\delta$ ，当 $x \in(a, a+\delta)$ 时，有 $|f(x)-A|<1$ ，从而 $|f(x)|<|A|+1$. 不妨记 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B$ ，对 $\varepsilon=1$ ，存在正数 $M_{1}>a+\delta$ ，当 $x>M_{\mathrm{i}}$ 时，有 $|f(x)-B|<1$ ，从而 $|f(x)|<|B|+1$ ． 又因 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上连续，故 $f(x)$ 在 $\left[a+\delta, M_{1}\right]$ 上连续．由连续函数有界性，存在正数 $G_{1}$ ，对任给 $x \in\left[a+\delta, M_{1}\right]$ ，有 $|f(x)| \leqslant G_{1}$ ． 取 $G=\max \left\{G_{1},|A|+1,|B|+1\right\}$ ，则对任何 $x \in(a,+\infty)$ 有 $|f(x)| \leqslant G$ ，故 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上有界． （3）易得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}}{\mathrm{e}^{x^{2}}}=0$ ．由（1）得 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的有界函数。