上册 2.1 函数的连续性 第29题
📝 题目
29．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 个连续， $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 。证明：$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有最大值或最小值．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，$f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow-x} f(x)=0=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ ．证明：存在 $x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\forall x \in(-\infty,+\infty), f\left(x_{0}\right) \geqslant f(x)$ 。
（3）设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，$f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明：$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有最大值．又问 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上是否有最小值？说明理由．
（4）函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, f(0)
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）若 $f(x) \equiv A$ ，显然 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上同时有最大、最小值 $A$ 。
设 $f(x)$ 不为常数 $A$ ，则 $\exists x_{1}$ ，使得 $f\left(x_{1}\right)>A$ 或 $f\left(x_{1}\right)A$ 。
由 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 可知，$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界。又因 $f\left(x_{1}\right)>A$ ，所以 $M=\sup _{x \in(-x,+x)} f(x)>A$ 。
再由 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ ，存在 $b>0$ ，当 $|x|>b$ 时有 $f(x)a$ ，当 $x \geqslant A_{0}$ 时，有 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ ，即得 $f(x)$ 在 $\left[A_{0},+\infty\right)$ 上有界。又 $f(x)$ 在 $\left[a, A_{0}\right]$ 上连续，从而有界。进一步，$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界。设 $M=\sup _{x \in[a,+x)} f(x)$ ，则 $M \geqslant 0$ 。
若 $M=0$ ，结论显然成立．
下设 $M>0$ 。由 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，存在 $B_{0}>0$ ，当 $x \geqslant B_{0}$ 时，有 $\displaystyle f(x) \leqslant \frac{M}{2}$ 。所以 $M=\sup _{x \in\left\{a, B_{0}\right\}} f(x)$ ，即 $f(x)$ 在 $\left[a, B_{0}\right]$ 上达到最大值，当然 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上，也有最大值．
$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上末必达到最小值，例如 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}, x \in[1,+\infty)$ ．尽管 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上，连续，$f(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，但 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上达不到最小值。
（4）由 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，对 $\varepsilon=A-f(0)$ ，存在 $A_{0}>0$ ，当 $x \geqslant A_{0}$ 时有 $f(0) \leqslant f(x) \leqslant 2 A-f(0)$ ，即得 $f(x)$ 在 $\left[A_{0},+\infty\right)$ 上有界。又 $f(x)$ 在 $\left[0, A_{0}\right]$ 上连续，从而有界。所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有界。设 $m=\inf _{x \in(0,+\infty)} f(x)$ ，则 $m \leqslant f(0)$ ．
由 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A>f(0)$ ，存在 $B_{0}>0$ ，当 $x \geqslant B_{0}$ 时有 $f(x)>f(0) \geqslant m$ 。所以 $m=\inf _{x \in\left[0, B_{0}\right]} f(x)$ ，即 $f(x)$ 在 $\left[0, B_{0}\right]$ 上达到最小值，所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 有最小值．
（5）记 $F(x)=f(f(x))$ 。由 $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=+\infty, \exists M>0(M>|a|)$ ，使得当 $|x| \geqslant M$ 时有 $f(x)>a$ 。在区间 $[-M, a]$ 与 $[a, M]$ 上，$f(a)
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析题目条件，考虑常数函数情况
若 $f(x) \equiv A$，则显然 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上同时有最大值和最小值 $A$。若 $f(x)$ 不是常数，则存在 $x_1$ 使得 $f(x_1) > A$ 或 $f(x_1) < A$。不妨设 $f(x_1) > A$。
提示：注意分类讨论，常数函数情况容易遗漏。
步骤 2/8
目标：利用极限定义得到有界性，并确定上确界
由 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$ 可知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界。又因为 $f(x_1) > A$，所以 $M = \sup_{x \in (-\infty,+\infty)} f(x) > A$。再由极限定义，存在 $b > 0$，当 $|x| > b$ 时 $f(x) < M$，因此 $M = \sup_{x \in [-b,b]} f(x)$。
公式：$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$
提示：注意上确界可能在有限区间内达到。
步骤 3/8
目标：应用闭区间上连续函数的最值定理
由于 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，故在 $[-b,b]$ 上连续。由最值定理，存在 $\xi \in [-b,b]$ 使得 $f(\xi) = M$。因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有最大值。
公式：最值定理
提示：确保区间是闭区间且函数连续。
步骤 4/8
目标：证明（2）的结论
由（1）的结论，因为 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 = \lim_{x \to +\infty} f(x)$，且 $f(x) \geq 0$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有最大值，即存在 $x_0$ 使得 $f(x_0) \geq f(x)$ 对所有 $x$ 成立。
提示：直接应用（1）的结论，注意条件满足。
步骤 5/8
目标：证明（3）中最大值的存在性
由 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ 且 $f(x) \geq 0$，存在 $A_0 > a$ 使得当 $x \geq A_0$ 时 $0 \leq f(x) \leq 1$，故 $f(x)$ 在 $[A_0,+\infty)$ 上有界。又 $f(x)$ 在 $[a,A_0]$ 上连续，从而有界，因此 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界。设 $M = \sup_{x \in [a,+\infty)} f(x) \geq 0$。若 $M=0$，则结论显然。若 $M>0$，由极限定义存在 $B_0 > 0$ 使得当 $x \geq B_0$ 时 $f(x) \leq M/2$，故 $M = \sup_{x \in [a,B_0]} f(x)$，由最值定理，$f(x)$ 在 $[a,B_0]$ 上达到最大值，从而在 $[a,+\infty)$ 上有最大值。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
提示：注意 $M=0$ 的情况，此时最大值就是0。
步骤 6/8
目标：讨论（3）中最小值的存在性并给出反例
$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上不一定有最小值。例如 $f(x) = 1/x$，$x \in [1,+\infty)$，满足条件但无最小值（下确界为0但取不到）。
提示：反例需满足所有条件，且说明下确界达不到。
步骤 7/8
目标：证明（4）中最小值的存在性
由 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A > f(0)$，对 $\varepsilon = A - f(0)$，存在 $A_0 > 0$ 使得当 $x \geq A_0$ 时 $f(0) \leq f(x) \leq 2A - f(0)$，故 $f(x)$ 在 $[A_0,+\infty)$ 上有界。又 $f(x)$ 在 $[0,A_0]$ 上连续，从而有界，所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有界。设 $m = \inf_{x \in [0,+\infty)} f(x) \leq f(0)$。由极限定义，存在 $B_0 > 0$ 使得当 $x \geq B_0$ 时 $f(x) > f(0) \geq m$，故 $m = \inf_{x \in [0,B_0]} f(x)$，由最值定理，$f(x)$ 在 $[0,B_0]$ 上达到最小值，从而在 $[0,+\infty)$ 上有最小值。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f(x) = A > f(0)$
提示：注意利用 $f(0) < A$ 的条件构造 $\varepsilon$。
步骤 8/8
目标：证明（5）中 $f(f(x))$ 至少有两个最小值点
记 $F(x) = f(f(x))$。由 $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$，存在 $M > 0$（$M > |a|$）使得当 $|x| \geq M$ 时 $f(x) > a$。在区间 $[-M,a]$ 和 $[a,M]$ 上，$f(a) < a < f(\pm M)$。由连续函数的介值定理，存在 $x_1 \in [-M,a]$，$x_2 \in [a,M]$ 使得 $f(x_1) = f(x_2) = a$。于是 $F(x_1) = F(x_2) = f(a)$。由于 $f(a)$ 是 $f$ 的最小值，对任意 $x$，$f(f(x)) \geq f(a)$，故 $F(x_1) = F(x_2) = f(a)$ 是 $F(x)$ 的最小值，且 $x_1 \neq x_2$。
公式：介值定理
提示：注意 $x_1$ 和 $x_2$ 不同，且 $f(a)$ 是 $f$ 的最小值。
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