上册 2.1 函数的连续性 第30题
📝 题目
30．设 $f(x)$ 于 $[a,+\infty)$ 可导，且 $f^{\prime}(x) \geqslant c>0$（ $c$ 为常数）．证明：（1） $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ；（2）$f(x)$ 于 $[a,+\infty)$ 必有最小值．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由中值定理，当 $x \geqslant a$ 时，有
$$
f(x)=f(x)-f(a)+f(a)=f^{\prime}(\xi)(x-a)+f(a) \geqslant c(x-a)+f(a) .
$$
由此可知 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．
由 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ，存在 $A_{0}>a$ ，当 $x \geqslant A_{0}$ 时有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)>f(a)$ ．又 $f(x)$ 在 $\left[a, A_{0}\right]$ 上连续，从而 $f(x)$ 在 $\left[a, A_{0}\right]$ 上达到最小值 $m=\inf _{x \in\left[a, A_{0}\right]} f(x)$ ，且 $m=\inf _{x \in\left[a, A_{0}\right]} f(x) \leqslant f(a)$ ．所以 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 有最小值。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用拉格朗日中值定理建立不等式
对任意 $x \geq a$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a, x)$ 使得 $f(x) - f(a) = f'(\xi)(x-a)$。由于 $f'(\xi) \geq c > 0$，故 $f(x) = f(a) + f'(\xi)(x-a) \geq f(a) + c(x-a)$。
公式：f(x) = f(a) + f'(\xi)(x-a) \geq f(a) + c(x-a)
提示：注意中值定理的条件：$f$ 在 $[a,x]$ 上连续，在 $(a,x)$ 内可导，由题设满足。
步骤 2/5
目标：证明极限为正无穷
由 $f(x) \geq f(a) + c(x-a)$，当 $x \to +\infty$ 时，$c(x-a) \to +\infty$，因此 $f(x) \to +\infty$。即 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$。
提示：极限定义：对任意 $M>0$，存在 $X$ 使得 $x>X$ 时 $f(x)>M$，可由不等式取 $X = a + \frac{M - f(a)}{c}$ 得到。
步骤 3/5
目标：利用极限存在性找到有界闭区间
由 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$，存在 $A_0 > a$ 使得当 $x \geq A_0$ 时，$f(x) > f(a)$。特别地，可取 $A_0$ 满足 $f(A_0) > f(a)$。
提示：注意 $f(a)$ 是有限值，极限为无穷保证存在这样的 $A_0$。
步骤 4/5
目标：在闭区间上应用最值定理
$f(x)$ 在 $[a, A_0]$ 上连续（可导必连续），由闭区间上连续函数的最值定理，$f(x)$ 在 $[a, A_0]$ 上存在最小值 $m = \min_{x \in [a, A_0]} f(x)$。显然 $m \leq f(a)$。
提示：最值定理要求闭区间连续，这里 $[a, A_0]$ 是闭区间，$f$ 连续，故适用。
步骤 5/5
目标：证明该最小值也是全局最小值
对于任意 $x \geq A_0$，由 $f(x) > f(a) \geq m$，所以 $f(x) > m$。因此 $m$ 是 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上的最小值。
提示：注意 $x \geq A_0$ 时 $f(x) > f(a)$，而 $m \leq f(a)$，故 $f(x) > m$。
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