上册 2.1 函数的连续性 第32题
📝 题目
32．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且有数列 $\left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A$ ，则存在 $x_{0} \in[a, b]$ 使 $f\left(x_{0}\right)=A$.
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ ：连续，且有唯一的最大值点 $x_{0} \in[a, b]$ ．若有数列 $\left\{x_{n}\right\}: x_{n} \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因 $\left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，故 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界。由致密性定理知，$\left\{x_{n}\right\}$ 存在收敛子列 $\left\{x_{n_{k}}\right\}$ ．设 $\lim _{k \rightarrow x} x_{n_{1}}=x_{0} \in[a, b]$ ．因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，所以 $f\left(x_{0}\right)=\lim _{k \rightarrow x} f\left(x_{n_{k}}\right)=\lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{n}\right)=A$ ．
（2）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \neq x_{0}$ ，则 $\exists \varepsilon_{0}>0,\left\{x_{n}\right\}$ 存在子列 $\left\{x_{n_{k}}\right\}$ ，满足 $\left|x_{n_{t}}-x_{0}\right| \geqslant \varepsilon_{0}$ ．
由于 $\left\{x_{n_{k}}\right\}$ 有界，由致密性定理，子列 $\left\{x_{n_{k}}\right\}$ 中存在收敛的子列，不妨仍记为 $\left\{x_{n_{k}}\right\}$ 。记 $\lim _{k \rightarrow x} x_{n_{k}}=y$ ，则 $y \in[a, b]$ ，且 $y \neq x_{0}$ 。于是 $f\left(x_{0}\right)=\lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{n}\right)=\lim _{k \rightarrow x} f\left(x_{n_{k}}\right)=f(y)$ ，这与最大值点的唯一性矛盾。所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用致密性定理找出收敛子列
由于数列 $\{x_n\} \subset [a,b]$，故 $\{x_n\}$ 有界。由致密性定理（有界数列必有收敛子列），存在子列 $\{x_{n_k}\}$ 收敛，设 $\lim_{k\to\infty} x_{n_k} = x_0$。因为 $[a,b]$ 是闭区间，所以 $x_0 \in [a,b]$。
提示：注意致密性定理的条件：数列有界，且区间是闭的，确保极限点属于区间。
步骤 2/6
目标：利用连续性传递极限
因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以 $f(x_0) = \lim_{k\to\infty} f(x_{n_k})$。又因为原数列 $\{f(x_n)\}$ 收敛于 $A$，其子列 $\{f(x_{n_k})\}$ 也收敛于 $A$，故 $f(x_0) = A$。
公式：$\lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) = f(\lim_{k\to\infty} x_{n_k})$
提示：连续函数极限与函数值可交换，但需注意子列极限与原数列极限一致。
步骤 3/6
目标：反证法假设极限不成立
假设 $\lim_{n\to\infty} x_n \neq x_0$，则存在 $\varepsilon_0 > 0$ 和子列 $\{x_{n_k}\}$ 使得 $|x_{n_k} - x_0| \geq \varepsilon_0$ 对所有 $k$ 成立。
提示：反证法假设要明确：存在子列远离 $x_0$。
步骤 4/6
目标：再次应用致密性定理得到收敛子列
子列 $\{x_{n_k}\}$ 仍有界，由致密性定理，存在其子列（仍记为 $\{x_{n_k}\}$）收敛于某点 $y \in [a,b]$。由于 $|x_{n_k} - x_0| \geq \varepsilon_0$，取极限得 $|y - x_0| \geq \varepsilon_0 > 0$，故 $y \neq x_0$。
提示：注意子列的子列仍为子列，且极限点 $y$ 与 $x_0$ 不同。
步骤 5/6
目标：利用连续性导出矛盾
由 $f$ 连续，$f(y) = \lim_{k\to\infty} f(x_{n_k})$。又因为 $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = f(x_0)$，其子列也收敛于 $f(x_0)$，所以 $f(y) = f(x_0)$。这与 $x_0$ 是唯一最大值点矛盾（因为 $y \neq x_0$ 且函数值相等，但最大值点唯一意味着只有 $x_0$ 取到最大值，而 $f(y)=f(x_0)$ 表明 $y$ 也是最大值点）。
公式：$f(y) = \lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)$
提示：唯一最大值点意味着最大值点唯一，任何其他点函数值严格小于最大值，但这里相等，矛盾。
步骤 6/6
目标：结论
因此假设不成立，故 $\lim_{n\to\infty} x_n = x_0$。
提示：反证法得证。
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