上册 2.1 函数的连续性 第33题
📝 题目
33．用确界存在定理证明：如果 $f(x)$ 是区间 $I$ 上的连续函数，则 $f(I)$ 是一个区间．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
只需证介值性。 $\forall a, b \in I(a
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的结论
要证明 $f(I)$ 是一个区间，即证明 $f(I)$ 具有介值性：对于任意 $y_1, y_2 \in f(I)$ 且 $y_1 < y_2$，以及任意 $c$ 满足 $y_1 < c < y_2$，存在 $x \in I$ 使得 $f(x)=c$。
提示：注意区间可以是开区间、闭区间或半开半闭区间，但介值性足以刻画区间。
步骤 2/6
目标：取两点并假设函数值大小关系
任取 $a, b \in I$ 且 $a < b$。不妨设 $f(a) < f(b)$（若 $f(a) > f(b)$ 可类似讨论）。任取 $c$ 满足 $f(a) < c < f(b)$。
提示：注意 $a$ 和 $b$ 是区间 $I$ 中的任意两点，且 $a
步骤 3/6
目标：构造集合并应用确界存在定理
考虑集合 $S = \{ t \mid x \in [a, t), f(x) < c \}$，即所有使得 $[a, t)$ 内函数值都小于 $c$ 的 $t$ 的集合。由于 $f(a) < c$，由连续性知存在 $\delta > 0$ 使得在 $[a, a+\delta)$ 上 $f(x) < c$，故 $S$ 非空且有上界 $b$（因为 $f(b) > c$，所以 $b$ 是上界）。由确界存在定理，$S$ 有上确界，记 $\xi = \sup S$。
提示：确界存在定理：非空有上界的实数集必有上确界。注意 $\xi$ 可能等于 $b$ 或小于 $b$。
步骤 4/6
目标：证明 $f(\xi) \leq c$
由 $\xi$ 是上确界，存在 $t_n \in S$ 使得 $t_n \to \xi$（$t_n < \xi$）。由于 $f$ 在 $\xi$ 处连续，有 $f(\xi) = \lim_{n \to \infty} f(t_n)$。而 $f(t_n) < c$，故 $f(\xi) \leq c$。
公式：$f(\xi) = \lim_{n \to \infty} f(t_n)$
提示：注意极限不等式：若 $a_n < c$，则 $\lim a_n \leq c$。
步骤 5/6
目标：反证法证明 $f(\xi) = c$
假设 $f(\xi) < c$。由 $f$ 在 $\xi$ 处连续，存在 $\delta > 0$ 使得当 $|x - \xi| < \delta$ 时，$f(x) < c$。特别地，取 $x = \xi + \frac{\delta}{2}$，则 $f(x) < c$，这意味着 $\xi + \frac{\delta}{2} \in S$，与 $\xi$ 是上确界矛盾。因此 $f(\xi) = c$。
提示：注意保号性：连续函数在一点小于某值，则在该点邻域内也小于该值。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于 $\xi \in [a, b] \subseteq I$，且 $f(\xi) = c$，所以 $c \in f(I)$。由 $c$ 的任意性，$f(I)$ 具有介值性，因此 $f(I)$ 是一个区间。
提示：注意 $\xi$ 可能等于 $a$ 或 $b$，但由 $f(a)
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