上册 2.1 函数的连续性 第34题

闭区间套定理：设 \(\{[a_n, b_n]\}_{n=1}^{\infty}\) 是一列闭区间，满足：(1) \([a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]\)，\(n=1,2,\ldots\)；(2) \(\lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) = 0\)。则存在唯一一点 \(\xi\) 属于所有闭区间，即 \(\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n] = \{\xi\}\)。

由条件 \([a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]\) 得 \(a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n\)，故 \(\{a_n\}\) 单调递增且有上界 \(b_1\)，\(\{b_n\}\) 单调递减且有下界 \(a_1\)。由单调有界性定理，\(\lim_{n\to\infty} a_n = \xi\)，\(\lim_{n\to\infty} b_n = \eta\)。又 \(\lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) = 0\)，得 \(\xi = \eta\)。对任意 \(n\)，\(a_n \leq \xi \leq b_n\)，故 \(\xi \in \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n]\)。唯一性由极限唯一性保证。

区间套定理即闭区间套定理，叙述同上。证明：由 \(a_n\) 单调递增有上界，\(b_n\) 单调递减有下界，得 \(\lim a_n = \xi\)，\(\lim b_n = \eta\)，且 \(\xi \leq \eta\)。由 \(b_n - a_n \to 0\) 得 \(\xi = \eta\)。对任意 \(n\)，\(a_n \leq \xi \leq b_n\)，故 \(\xi \in \bigcap [a_n, b_n]\)。唯一性：若另有一点 \(\xi'\) 属于所有区间，则 \(|\xi - \xi'| \leq b_n - a_n \to 0\)，故 \(\xi = \xi'\)。

设 \(S\) 为非空有上界数集，取 \(a_1 \in S\)，\(b_1\) 为 \(S\) 的一个上界。令 \(c_1 = (a_1+b_1)/2\)。若 \(c_1\) 是 \(S\) 的上界，则取 \(a_2 = a_1, b_2 = c_1\)；否则取 \(a_2 = c_1, b_2 = b_1\)。如此反复，得闭区间套 \([a_n, b_n]\)，满足 \(a_n \in S\)，\(b_n\) 是上界，且 \(b_n - a_n \to 0\)。由区间套定理，存在唯一 \(\xi\) 属于所有区间。易证 \(\xi = \sup S\)。

设 \([a,b]\) 被开区间族 \(\{G_\lambda\}\) 覆盖。假设 \([a,b]\) 不能被有限覆盖，则二等分后至少有一半不能被有限覆盖，取其为 \([a_1,b_1]\)。继续二分，得闭区间套 \([a_n,b_n]\)，每个都不能被有限覆盖，且长度趋于0。由区间套定理，存在 \(\xi \in \bigcap [a_n,b_n]\)。由于 \(\xi\) 被某个 \(G_{\lambda_0}\) 覆盖，存在 \(\delta>0\) 使 \((\xi-\delta, \xi+\delta) \subseteq G_{\lambda_0}\)。当 \(n\) 充分大时，\([a_n,b_n] \subseteq (\xi-\delta, \xi+\delta)\)，从而被 \(G_{\lambda_0}\) 覆盖，矛盾。

设 \(E\) 为有界无限点集，存在 \([a,b]\) 包含 \(E\)。假设 \(E\) 无聚点，则对任意 \(x \in [a,b]\)，存在 \(\delta_x>0\) 使 \((x-\delta_x, x+\delta_x)\) 内至多含 \(E\) 的有限个点。这些开区间覆盖 \([a,b]\)，由有限覆盖定理，存在有限子覆盖。每个开区间内至多有限个点，故 \(E\) 为有限集，矛盾。

设 \(\{x_n\}\) 为有界数列，则其值域有界。若值域为有限集，则必有收敛子列。若为无限集，由聚点定理，存在聚点 \(\xi\)。构造子列：取 \(n_1\) 使 \(|x_{n_1}-\xi|<1\)，再取 \(n_2>n_1\) 使 \(|x_{n_2}-\xi|<1/2\)，如此可得子列收敛于 \(\xi\)。

设 \(\{[a_n,b_n]\}\) 为闭区间套，假设 \(\bigcap [a_n,b_n] = \varnothing\)，则 \([a_1,b_1]\) 被开区间族 \(\{ (a_n,b_n)^c \}\) 覆盖（其中 \((a_n,b_n)^c\) 为补集）。由有限覆盖定理，存在有限子覆盖，比如 \(\{(a_{n_k},b_{n_k})^c\}_{k=1}^m\)。取 \(N = \max n_k\)，则 \([a_N,b_N]\) 被这些补集覆盖，但 \([a_N,b_N] \subseteq [a_{n_k},b_{n_k}]\) 对每个 \(k\)，故 \([a_N,b_N]\) 与每个 \((a_{n_k},b_{n_k})^c\) 不相交，矛盾。因此交集非空，由长度趋于0得唯一性。