上册 2.2 一致连续 第1题
📝 题目
1．若函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 一致连续的充要条件是 $f(a+0)$ 与 $f(b-0)$存在。湖南师大 2012，昆明理工 2007，南昌大学 2002，青岛科技 2011，矿业大学 2011，地质大学 2004，天津大学 2003，浙江师大 2010，天津工大 2005，华东理工 2001／2004，山东大学 1981，南开大学 1984，北京交大 2011 ，大连海事 2003，西安电子科技 2006，华侨大学 2009，东北大学 2007／1999／1997，西安交大 1998，郑州大学 2003，首都师大 2002／2001，深圳大学 2008，东华大学 2001）
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
充分性：令 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}f(a+0), x=a, \\ f(x), x \in(a, b), \text { 则 } F(x) \text { 在闭区间 }[a, b] \text { ：连续．从而 } F(x) \text { 在闭区间 }[a, b] \text { 上 } \\ f(b-0), x=b,\end{array}\right.$一致连续，在开区间 $(a, b)$ 上也一致连续，即 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续。
必要性：$f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续，则 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，
$$
\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon
$$
于是当 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in(a, a+\delta)$ 时，$\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ．由极限存在的柯西准则， $\lim _{x \rightarrow a^{\prime}} f(x)$ 存在．
同理可证 $\lim _{x \rightarrow b} f(x)$ 存在．
注：此题表明，在有限开区间内连续函数是否一致连续，取决于函数在端点附近的状态。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目与结论
题目要求证明：在有限开区间 $(a,b)$ 上连续的函数 $f(x)$ 一致连续的充要条件是 $f(a+0)$ 与 $f(b-0)$ 存在（即左右极限存在）。
提示：注意区间是开区间，端点可能无定义，但极限存在性至关重要。
步骤 2/7
目标：充分性：构造闭区间上的连续函数
假设 $f(a+0)$ 和 $f(b-0)$ 存在，定义函数 $F(x)$ 如下：
$$F(x)=\begin{cases} f(a+0), & x=a \\ f(x), & x\in(a,b) \\ f(b-0), & x=b \end{cases}$$
由于 $f$ 在 $(a,b)$ 连续，且 $F$ 在端点处取极限值，故 $F$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。
提示：注意 $f(a+0)$ 和 $f(b-0)$ 是有限数，否则无法延拓。
步骤 3/7
目标：充分性：利用闭区间上连续函数的一致连续性
根据Cantor定理，闭区间上的连续函数一致连续。因此 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。特别地，$F(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续，而 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 上等于 $f(x)$，所以 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。
提示：Cantor定理是核心，但需注意闭区间必须有限。
步骤 4/7
目标：必要性：由一致连续推导极限存在
假设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $x',x''\in(a,b)$ 且 $|x'-x''|<\delta$ 时，有 $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$。
公式：一致连续定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x',x''\in(a,b),|x'-x''|<\delta\Rightarrow|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$
提示：一致连续与连续的区别在于 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于点。
步骤 5/7
目标：必要性：证明左极限存在
取 $x',x''\in(a,a+\delta)$，则 $|x'-x''|<\delta$，从而 $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$。由柯西收敛准则，当 $x\to a^+$ 时 $f(x)$ 的极限存在，即 $f(a+0)$ 存在。
公式：柯西收敛准则：函数极限存在当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $x',x''$ 充分接近 $a$ 时，$|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$。
提示：注意 $a$ 是左端点，只需考虑右极限。
步骤 6/7
目标：必要性：证明右极限存在
类似地，取 $x',x''\in(b-\delta,b)$，则 $|x'-x''|<\delta$，从而 $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$。由柯西收敛准则，$\lim_{x\to b^-}f(x)$ 存在，即 $f(b-0)$ 存在。
公式：同上柯西准则。
提示：注意 $b$ 是右端点，考虑左极限。
步骤 7/7
目标：总结
因此，$f(x)$ 在有限开区间 $(a,b)$ 上一致连续的充要条件是 $f(a+0)$ 和 $f(b-0)$ 都存在。这揭示了开区间上一致连续性与端点极限的关系。
提示：该结论仅适用于有限开区间，无限区间需另论。
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