上册 2.2 一致连续 第2题

\section*{证明过程：} （1）由 $f(x)$ 单调有界得 $f(a+0)$ 与 $f(b-0)$ 存在．由题 1 得 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续． （2）因 $f(x)$ 在有限区间 $(a, b)$ 内一致连续，由题 1 得 $f(a+0)$ 与 $f(b-0)$ 存在．对 $f(x)$ 在 $x=a$及 $x=b$ 连续延拓，则 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续． （3）由题 1 得 $f(a+0)$ 与 $f(b-0)$ 存在．令 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}f(a+0), x=a, \\ f(x), x \in(a, b), \text { 则 } F(x) \text { 在闭区间 }[a, b] \text { 上连 } \\ f(b-0), x=b,\end{array}\right.$续。从而 $F(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有界，当然 $F(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 上也有界，亦即 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上有界。 将有限区间改为无穷区间时，结论不一定成立，如 $f(x)=x$ ． （4）首先证明：$f(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续。 假设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内某点 $x_{0}$ 间断，不妨设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上递增，则 $x_{0}$ 必为第一类间断点。 于是 $f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}-0\right)$ 与 $f\left(x_{0}+0\right)-f\left(x_{0}\right)$ 至少有一个大于 0 ，不妨设 $f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}-0\right)>0$ ．由 $f(x)$ 递增，$f(x)$ 无法取到 $f\left(x_{0}\right)$ 与 $f\left(x_{0}-0\right)$ 之间的函数值。矛盾。所以 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续。 其次，由 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上单调有界，故 $\lim _{x \rightarrow b} f(x), ~ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 存在且有限。从而知 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续． （5）设 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f^{\prime}(x)=a$ ，则 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta=\frac{\varepsilon}{(|a|+1)}$ ，当 $x \in(a, a+\delta)$ 时，$\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant|a|+1$ ．于是 $\forall x_{1}, x_{2} \in(a, a+\delta)$, $$ \left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right| \leqslant(|a|+1)\left|x_{2}-x_{1}\right|<\varepsilon $$ 所以 $f(a+0)$ 存在。 同理可得 $f(b-0)$ 存在． 再由（3）得 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 一致连续且有界。 （6）这是（3）的逆否命题，由（3）得证。 注 1：由此题表明：若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内一致连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界。然而，在开区间内连续且有界的函数，不一定一致连续。如函数 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上。