上册 2.2 一致连续 第3题
📝 题目
3．讨论或证明函数的一致连续性。
（1）若函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $I$ 上有界，试讨论 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的有界性和一致连续性。
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可微，且存在 $M>0$ ，使得 $\forall x \in(0,1)$ ， $\left|x f^{\prime}(x)-f(x)\right|
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）由 $f^{\prime}(x)$ 在 $I$ 上有界，存在 $M>0$ ，使得 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M, x \in I$ 。
对于 $\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明导函数有界时函数一致连续
设 $f'(x)$ 在区间 $I$ 上有界，则存在 $M>0$，使得 $|f'(x)| \leq M$ 对所有 $x \in I$ 成立。对任意 $x_1, x_2 \in I$，不妨设 $x_1 < x_2$，由 Lagrange 中值定理，存在 $\xi \in (x_1, x_2)$，使得 $|f(x_1)-f(x_2)| = |f'(\xi)| \cdot |x_1-x_2| \leq M|x_1-x_2|$。因此 $f$ 满足 Lipschitz 条件，从而一致连续。
公式：|f(x_1)-f(x_2)| = |f'(\xi)| \cdot |x_1-x_2|
提示：注意中值定理要求区间内可导，闭区间上连续，开区间内可导。
步骤 2/6
目标：讨论有界性：有限区间与无限区间
当 $I$ 为有限区间时，由一致连续可推出有界（因为有限区间上一致连续函数必有界）。当 $I$ 为无限区间时，反例：$f(x)=x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上导数为1有界，但函数无界。
提示：注意区分有限区间和无限区间，无限区间上一致连续不一定有界。
步骤 3/6
目标：转化条件：构造新函数
由条件 $|x f'(x)-f(x)| < x^2 M$，两边除以 $x^2$（$x>0$）得 $\left| \frac{x f'(x)-f(x)}{x^2} \right| < M$。注意到 $\left( \frac{f(x)}{x} \right)' = \frac{x f'(x)-f(x)}{x^2}$，因此 $\left( \frac{f(x)}{x} \right)'$ 在 $(0,1)$ 内有界。
公式：\left( \frac{f(x)}{x} \right)' = \frac{x f'(x)-f(x)}{x^2}
提示：注意 $x>0$，除法有意义。
步骤 4/6
目标：证明 $\frac{f(x)}{x}$ 一致连续
由第(1)问结论，若导函数有界则函数一致连续。这里 $\frac{f(x)}{x}$ 的导函数在 $(0,1)$ 内有界，因此 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,1)$ 内一致连续。
提示：直接应用第(1)问的结论，注意区间是开区间，但一致连续性在开区间上也可定义。
步骤 5/6
目标：证明 $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}$ 存在
由 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,1)$ 内一致连续，且 $(0,1)$ 是有限区间，根据一致连续函数的性质，$\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,1)$ 上有界，且极限 $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}$ 存在（因为一致连续函数在端点处有极限）。
提示：注意：一致连续函数在有限区间端点处极限存在，但需要函数在区间上有定义，这里 $x=0$ 不在定义域内，但极限存在。
步骤 6/6
目标：证明 $\lim_{x \to 0^+} f'(x)$ 存在
由条件 $|x f'(x)-f(x)| < x^2 M$ 得 $\left| f'(x) - \frac{f(x)}{x} \right| < |x| M$。令 $x \to 0^+$，则 $\left| f'(x) - \frac{f(x)}{x} \right| \to 0$，即 $\lim_{x \to 0^+} \left( f'(x) - \frac{f(x)}{x} \right) = 0$。由于 $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}$ 存在，设为 $L$，则 $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = L$。
公式：\left| f'(x) - \frac{f(x)}{x} \right| < |x| M
提示：注意绝对值不等式放缩，以及极限的加法性质。
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