上册 2.2 一致连续 第4题
📝 题目
4．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上有界。证明：（1）$f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上一致连续； （2） $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 存在，但 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 不一定存在；（3）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ ，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上至少有一个零点．
（2）若函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 可导，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|=\lambda$（常数或 $+\infty$ ），则 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 一致连续的充要条件是 $\lambda$ 为常数．
（3）设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有连续的导函数， $\lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在。证明：$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上可导．若 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=+\infty$ ，则 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上非一致连续．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）由已知条件知 $\exists L>0, \forall x \in(a,+\infty)$ 有 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant L$ 。由微分中值定理，$\forall x_{1}, x_{2} \in(a,+\infty)$ 有
$$
\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\left|f^{\prime}(\xi)\right| \cdot\left|x_{1}-x_{2}\right| \leqslant L\left|x_{1}-x_{2}\right|
$$
即 $f(x)$ 在 $I$ 上满足利普希茨条件，所以 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上一致连续。
由极限存在的柯西准则， $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 存在，但 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 不一存在，如 $f(x)=x$ 。
由罗尔定理的推广得 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上至少有一个零点（见 3.2 题1）。
（2）充分性：若 $\lambda$ 为常数，由局部有界性，$\exists A>a$ ，可使 $f^{\prime}(x)$ 在 $[A,+\infty)$ 有界，从而 $f(x)$ 在 $[A,+\infty)$ 上一致连续．再由 Cantor 定理知，$f(x)$ 在 $[a, A]$ 一致连续．故 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 一致连续．
必要性：（用反证法）设 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left|f^{\prime}(x)\right|=+\infty$ ，则 $\forall \delta>0, \exists A>a, \forall x>A$ ，有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right|>\frac{1}{\delta} \cdot \exists \varepsilon_{0}=\frac{1}{2}$ ，取 $x_{1}, x_{2}>A$ 且使 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{\delta}{2}<\delta$ ．由拉格朗日定理，有
$$
\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\left|f^{\prime}(\xi)\right| \cdot\left|x_{1}-x_{2}\right| \geqslant \frac{1}{\delta} \cdot \frac{\delta}{2}=\frac{1}{2}
$$
故 $f(x)$ 在 $[A,+\infty)$ 非一致连续．这与 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 一致连续矛盾．
（3）由（2）得．
（4）由（2）得。
注：此题结论相当完美，它使许多初等函数在无限区间上一致连续与非一致连续的判别变得简便易行。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明(1)中f(x)一致连续
由已知，存在$L>0$使得$\forall x\in(a,+\infty)$有$|f'(x)|\leq L$。对任意$x_1,x_2\in(a,+\infty)$，由拉格朗日中值定理，存在$\xi$介于$x_1,x_2$之间，使得$|f(x_1)-f(x_2)|=|f'(\xi)||x_1-x_2|\leq L|x_1-x_2|$。因此$f$满足Lipschitz条件，从而一致连续。
公式：|f(x_1)-f(x_2)| = |f'(\xi)||x_1-x_2|
提示：注意Lipschitz条件蕴含一致连续，但反之不真。
步骤 2/6
目标：证明(1)中极限存在性
由柯西收敛准则，因为$f$在$(a,+\infty)$上一致连续，所以$\lim_{x\to a^+}f(x)$存在。但$\lim_{x\to+\infty}f(x)$不一定存在，例如$f(x)=x$，其导数有界，但无穷远极限不存在。
提示：注意一致连续不能保证无穷远极限存在，反例$f(x)=x$。
步骤 3/6
目标：证明(1)中零点存在性
若$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=A$，则$f$在$(a,+\infty)$上可导且两端极限相等。由罗尔定理的推广（或达布定理），存在$\xi\in(a,+\infty)$使得$f'(\xi)=0$。
提示：注意罗尔定理要求区间端点函数值相等，这里推广到无穷区间。
步骤 4/6
目标：证明(2)的充分性
若$\lim_{x\to+\infty}|f'(x)|=\lambda$为常数，则存在$A>a$使得当$x\geq A$时$|f'(x)|\leq \lambda+1$，即$f'$在$[A,+\infty)$上有界，从而$f$在$[A,+\infty)$上一致连续。又$f$在$[a,A]$上连续，由Cantor定理知一致连续，故$f$在$[a,+\infty)$上一致连续。
提示：注意需要分段处理：有限区间用Cantor定理，无穷区间用导数有界。
步骤 5/6
目标：证明(2)的必要性
反证法：假设$\lim_{x\to+\infty}|f'(x)|=+\infty$。取$\varepsilon_0=1/2$，对任意$\delta>0$，存在$A>a$使得当$x>A$时$|f'(x)|>1/\delta$。取$x_1,x_2>A$且$|x_1-x_2|=\delta/2<\delta$，由拉格朗日中值定理，存在$\xi$介于$x_1,x_2$之间，使得$|f(x_1)-f(x_2)|=|f'(\xi)||x_1-x_2|>(1/\delta)\cdot(\delta/2)=1/2=\varepsilon_0$。这与$f$一致连续矛盾。
公式：|f(x_1)-f(x_2)| = |f'(\xi)||x_1-x_2|
提示：注意反证法构造：取$\varepsilon_0=1/2$，对任意$\delta$找到两点距离小于$\delta$但函数值差大于$\varepsilon_0$。
步骤 6/6
目标：证明(3)和(4)
(3)由(2)直接可得：因为$\lim_{x\to+\infty}f'(x)$存在，设为$\lambda$，则$\lim_{x\to+\infty}|f'(x)|=|\lambda|$为常数，由(2)知$f$一致连续。
(4)由(2)的必要性：若$\lim_{x\to\infty}f'(x)=+\infty$，则$\lim_{x\to+\infty}|f'(x)|=+\infty$，由(2)知$f$非一致连续。
提示：注意(3)中导函数连续的条件保证了极限存在，但(2)中只需极限存在即可。
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