上册 2.2 一致连续 第5题
📝 题目
5．证明下列结论．
（1）若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在有限开区间 $(a, b)$ 上一致连续，则 $f(x) g(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续．试举例说明把＂有限开区间＂的有限去掉，结论不成立．
（2）若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致连续且有界，则 $f(x) g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致连续．
（3）若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续，问函数 $f(x) g(x), \max \{f(x), g(x)\}$ ， $\min \{f(x), g(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上是否一致连续？（证明或举例）．
（4）若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $I$ 十一致连续，问 $\displaystyle f(x)+g(x), f(x) g(x), \frac{f(x)}{g(x)}(\forall x \in I, g(x) \neq 0)$在 $I$ 上是否一致连续？
（5）若函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，问 $f^{2}(x), \sqrt{f(x)}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续吗？证明或举反例．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
先证明下列结论：
结论 1：若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $I$ 上一致连续，则函数 $f(x) \pm g(x)$ 在 $I$ 上一致连续．
结论 2：若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $I$ 上一致连续，且有界，则函数 $f(x) \cdot g(x)$ 在 $I$ 上一致连续。
由 $f(x), g(x)$ 在 $I$ 上的一致连续性，对于任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $x, y \in I$ ，且 $|x-y|<\delta$ 时，有
$$
|f(x)-f(y)|<\varepsilon,|g(x)-g(y)|<\varepsilon .
$$
于是
$$
\begin{aligned}
|f(x) \pm g(x)-(f(y) \pm g(y))| & =|(f(x)-f(y)) \pm(g(x)-(y))| \\
& \leqslant|g(x) \pm g(y)|+|f(x) \pm f(y)|<2 \varepsilon .
\end{aligned}
$$
故 $f(x) \pm g(x)$ 在 $I$ ト二致连续．
函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $I$ 上有界，存在 $M>0$ ，满足 $|f(x)| \leqslant M,|g(x)| \leqslant M, x \in I$ 。于是
$$
\begin{aligned}
|f(x) g(x)-f(y) g(y)| & =|f(x) g(x)-f(x) g(y)+f(x) g(y)-f(y) g(y)| \\
& \leqslant|f(x)\|g(x)-g(y)|+|f(x)-f(y) \| g(y)| \leqslant 2 M \varepsilon .
\end{aligned}
$$
故 $f(x) g(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续．
（1）因为 $f(x), g(x)$ 在有限区间 $(a, b)$ 内一致连续，由题 $2(3)$ 得 $f(x), g(x)$ 在 $(a, b)$ 上是有界的．由结论2得 $f(x) g(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续。
也可用结论 2 的证明方法直接证明．
（2）由结论 2 得证。
（3）函数 $f(x) g(x), \max \{f(x), g(x)\}, \min \{f(x), g(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致连续。证明如下：
由函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续，则 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有界。由结论得函数 $f(x) g(x), f(x)+g(x), f(x)-g(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续。
由函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续，得函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，进一步得 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 上连续．由康托定理，函数 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 上一致连续。
由
$$
\max \{f(x), g(x)\}=\frac{1}{2}(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|), \min \{f(x), g(x)\}=\frac{1}{2}(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|)
$$
可知 $\max \{f(x), g(x)\}, \min \{f(x), g(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致连续．
（4）若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续，由定义易证 $f(x)+g(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续．
对 $f(x) g(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续性要看条件：
当 $I=[a, b]$ 时，$f(x) g(x)$ 在 $I$ 上一致连续．
当 $I=(a, b)$ 且 $f(a+0)$ 与 $f(b-0)$ 存在时，$f(x) g(x)$ 在 $I$ 上一致连续．
当 $I$ 为无限开区间，$f(x) g(x)$ 在 $I$ 上不一定一致连续．例如，$f(x)=x$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致连续，但 $f^{2}(x)=x^{2}$ 在 $\mathbf{R}$ 上不一致连续．
$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 在区间 $I$ 上不一定一致连续．如 $f(x)=x, g(x)=1$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致连续，$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致连续，但 $\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}$ 在 $(0,1)$ 或 $(0,+\infty)$ 上非一致连续．
（5）若函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，则 $(f(x))^{p}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续 $(0
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明和与差的一致连续性
设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $x,y\in I$ 且 $|x-y|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ 和 $|g(x)-g(y)|<\varepsilon$。则 $|(f\pm g)(x)-(f\pm g)(y)|\leq |f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|<2\varepsilon$，故 $f\pm g$ 一致连续。
公式：$|(f\pm g)(x)-(f\pm g)(y)|\leq |f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|$
提示：注意三角不等式的使用，以及 $\varepsilon$ 的任意性。
步骤 2/7
目标：证明有界函数乘积的一致连续性
设 $f,g$ 在 $I$ 上一致连续且有界，即存在 $M>0$ 使得 $|f(x)|\leq M, |g(x)|\leq M$。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $|x-y|<\delta$ 时，$|f(x)-f(y)|<\varepsilon/(2M)$，$|g(x)-g(y)|<\varepsilon/(2M)$。则 $|f(x)g(x)-f(y)g(y)|\leq |f(x)||g(x)-g(y)|+|f(x)-f(y)||g(y)|\leq M\cdot \frac{\varepsilon}{2M}+\frac{\varepsilon}{2M}\cdot M=\varepsilon$，故 $fg$ 一致连续。
公式：$|f(x)g(x)-f(y)g(y)|\leq |f(x)||g(x)-g(y)|+|f(x)-f(y)||g(y)|$
提示：有界性是关键，否则如 $f(x)=x$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续但 $f^2$ 不一致连续。
步骤 3/7
目标：证明(1)：有限开区间上乘积一致连续
由于 $(a,b)$ 是有限开区间，$f,g$ 在 $(a,b)$ 上一致连续，则它们有界（因为一致连续函数在有限区间上有界）。由步骤2知 $f(x)g(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。反例：取 $f(x)=x, g(x)=x$ 在无限区间 $\mathbb{R}$ 上，$f,g$ 一致连续但 $f(x)g(x)=x^2$ 不一致连续。
提示：注意有限区间保证有界性，无限区间反例需说明。
步骤 4/7
目标：证明(2)：$\mathbb{R}$ 上有界函数乘积一致连续
由条件 $f,g$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续且有界，直接应用步骤2即得 $f(x)g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
提示：无需额外证明，直接引用结论。
步骤 5/7
目标：证明(3)：闭区间上乘积、最大值、最小值一致连续
闭区间 $[a,b]$ 上一致连续函数必有界，由步骤2得 $fg$ 一致连续。又 $\max\{f,g\}=\frac{1}{2}(f+g+|f-g|)$，$\min\{f,g\}=\frac{1}{2}(f+g-|f-g|)$。由于 $f,g$ 一致连续，则 $f\pm g$ 一致连续，且 $|f-g|$ 一致连续（因为绝对值函数连续且复合一致连续函数仍一致连续），故 $\max$ 和 $\min$ 一致连续。
公式：$\max\{f,g\}=\frac{1}{2}(f+g+|f-g|)$
提示：注意绝对值函数 $|\cdot|$ 的一致连续性需要验证，但闭区间上连续函数一致连续，而 $|f-g|$ 连续。
步骤 6/7
目标：证明(4)：一般区间上的和、积、商
和：$f+g$ 一致连续（步骤1）。积：不一定，如 $f(x)=x, g(x)=x$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续但 $x^2$ 不一致连续；但在闭区间上成立。商：不一定，如 $f(x)=1, g(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上，$f/g=1/x$ 不一致连续。
提示：举反例时需说明区间和函数的具体性质。
步骤 7/7
目标：证明(5)：$f^2$ 和 $\sqrt{f}$ 的一致连续性
$\sqrt{f}$：利用不等式 $|\sqrt{a}-\sqrt{b}|\leq \sqrt{|a-b|}$（$a,b\geq 0$），由 $f$ 一致连续得 $\sqrt{f}$ 一致连续。$f^2$：不一定，如 $f(x)=x$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，但 $f^2(x)=x^2$ 不一致连续。
公式：$|\sqrt{a}-\sqrt{b}|\leq \sqrt{|a-b|}$
提示：注意 $\sqrt{f}$ 需要 $f(x)\geq 0$，题目中隐含条件。
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