上册 2.2 一致连续 第6题
📝 题目
6．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上满足 Lipschitz 条件，即存在常数 $m>0$ ，使对 $[0,+\infty)$ 上任意两点 $x^{\prime}, x^{\prime \prime}$都有 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant m\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|$ ．证明 $f\left(x^{\alpha}\right),(\alpha \in(0,1))$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上具有连续的导函数，且 $\lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在有限， $0<\alpha<1$ ，是一个常数．证明 $f\left(x^{\alpha}\right)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）设 $p$ 为正常数，$f(x)=\cos x^{p}$ 。证明：当 $0
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）先证：$g(x)=x^{\alpha}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．为此将区间 $[0,+\infty)$ 分成两个区间 $[0,1]$ 和 $[1,+\infty)$ ．当 $0<\alpha<1$ 时，$g^{\prime}(x)=\alpha x^{\alpha-1}$ 在 $[1,+\infty)$ 有界。由题 $4, g(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 一致连续．又 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 一致连续，所以 $g(x)=x^{\alpha}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。于是对 $\forall \varepsilon>0$ 存在 $\delta>0$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时，有 $\left|x_{2}^{\alpha}-x_{1}^{\alpha}\right|<\varepsilon$ ．
由题设条件，对 $\forall x_{1}, x_{2} \in[0,+\infty)$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时，有 $\left|f\left(x_{2}^{\alpha}\right)-f\left(x_{1}^{\alpha}\right)\right| \leqslant m\left|x_{2}^{\alpha}-x_{1}^{\alpha}\right|0$ ，存在 $\eta>0$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\eta$ 时，有 $\left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right|<\varepsilon$ 。
由 $g(x)=x^{\alpha}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，对 $\eta>0$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时，有 $\left|x_{2}^{\alpha}-x_{1}^{\alpha}\right|<\eta$ 。
于是当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时，有 $\left|f\left(x_{2}^{\alpha}\right)-f\left(x_{1}^{\alpha}\right)\right|<\varepsilon$ 。即 $f\left(x^{\alpha}\right)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。
（3）方法 1 ：对 $x>1, f^{\prime}(x)=-\sin \left(x^{p}\right) \cdot p x^{p-1}$ 。故 $f^{\prime}(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上有界。于是 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续。由 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，易知 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上一致连续。故 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．
方法 2：记 $g(u)=\cos u$ ，则 $g(u)$ 满足 Lipschitz 条件，由（1）得 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．
（4）记 $g(u)=[f(x)]^{\alpha}$ 。利用不等式 $\left|a^{\alpha}-b^{\alpha}\right| \leqslant|a-b|^{\alpha}, ~(a, b \geqslant 0,0<\alpha \leqslant 1)$ 得
$$
\left|g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)\right|=\left|\left(f\left(x_{1}\right)\right)^{\alpha}-\left(f\left(x_{2}\right)\right)^{\alpha}\right| \leqslant\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|^{\alpha}, x_{1}, x_{2} \in[0,+\infty)
$$
再由 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 一致连续，即得 $g(x)=(f(x))^{\alpha}$ 在 $[0,+\infty)$ 上是一致连续的。
（5）因为 $g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 连续，所以 $g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，从而 $g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上一致连续．于是对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\delta_{1}>0$ ，当 $y_{1}, y_{2} \in[-1,1],\left|y_{1}-y_{2}\right|<\delta_{1}$ 时，有 $\left|g\left(y_{1}\right)-g\left(y_{2}\right)\right|<\varepsilon$ 。
显然，$y=\sin x$ 在 $\mathbf{R}$ 上是一致连续，对上述 $\varepsilon>0$ 及固定的 $\delta_{1}$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $x_{1}, x_{2} \in \mathbf{R}$ ， $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时，有 $\left|\sin x_{1}-\sin x_{2}\right|<\delta_{1}, \sin x_{1}, \sin x_{2} \in[-1,1]$ 。所以 $\left|g\left(\sin x_{1}\right)-g\left(\sin x_{2}\right)\right|<\varepsilon$ 。故 $f(x)=g(\sin x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是一致连续的。
（6）与（5）的证明类似。
（7）由 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \mu$ 及题 3 得 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上一致连续， $\sin x$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 一致连续，且 $\sin x \in(0,1)$ ．由（6）得 $F(x)=f(\sin x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 一致连续．
（8）结论是 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是一致连续。证明如下：
方法 1 ，对于任意大于 1 的正数 $K, f(x)$ 在 $[0, K]$ 上连续，所以在 $[0, K]$ 上一致连续．
另一方面，当 $x>1$ 时，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right|=\left|\frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}\right| \leqslant \frac{1}{2}$ ，故 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续。所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ ：是一致连续的．
方法 2（用定义）：$\forall x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)$ ，由微分中值定理，$\exists \xi \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 使
$$
\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\left|f^{\prime}(\xi)\left(x_{1}-x_{2}\right)\right|=\left|\frac{\cos \sqrt{\xi}}{2 \sqrt{\xi}}\left(x_{1}-x_{2}\right)\right| \leqslant \frac{1}{2}\left|x_{1}-x_{2}\right|
$$
于是对 $\forall \varepsilon>0$ ，取 $\delta_{1}=\varepsilon$ ，则当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta_{1}$ 时，有 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon$ 。故 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续．
函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续，从而一致连续。于是对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{2}>0$ ，对 $\forall x_{1}, x_{2} \in[0,2]$ ，且 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta_{2}$ ，有 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon$ ．
令 $\delta=\min \left\{1, \delta_{1}, \delta_{2}\right\}$ ，则对 $\forall x_{1}, x_{2} \in(0,+\infty)$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时，$x_{1}, x_{2}$ 同时在 $[0,2]$ 或在 $[1,+\infty)$ 中，总有 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon$ ．因此 $y=\sin \sqrt{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致连续．
方法3：由于 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\left|\sin \sqrt{x_{1}}-\sin \sqrt{x_{2}}\right| \leqslant\left|\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}}\right|$ ，且 $\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 一致连续，故 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。
（9）记 $g(x)=\left(\sin \mid(f(x) \mid)^{3}, h(x)=\left(\sin (f(x))^{3}\right.\right.$ 。则对 $x_{1}, x_{2} \in I$ ，有
$$
\begin{aligned}
\left|g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)\right| & =\mid\left(\sin \left(\left|f\left(x_{1}\right)\right|\right)^{3}-\left(\sin \left(\left|f\left(x_{2}\right)\right|\right)^{3} \mid\right.\right. \\
& =\left|\sin \left(\left|f\left(x_{1}\right)\right|\right)-\sin \left(\left|f\left(x_{2}\right)\right|\right)\right| \cdot \mid\left(\sin \left(\left|f\left(x_{1}\right)\right|\right)^{2}+\left(\sin \left(\left|f\left(x_{2}\right)\right|\right)^{2}-\sin \left(\left|f\left(x_{1}\right)\right|\right) \sin \left(\left|f\left(x_{2}\right)\right|\right) \mid\right.\right. \\
& \leqslant 3\left|\sin \left(\left|f\left(x_{1}\right)\right|\right)-\sin \left(\left|f\left(x_{2}\right)\right|\right)\right| \leqslant 3\left\|f\left(x_{1}\right)\left|-\left|f\left(x_{2}\right) \| \leqslant 3\right| f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|\right.
\end{aligned}
$$
由 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续得 $\sin ^{3}(|f(x)|)$ 在区间 $I$ 上一致连续．
再证：$h(x)=\left(\sin (f(x))^{3}\right.$ 在区间 $I$ 上一致连续。
首先，由 $|f(x)|$ 在区间 $I$ 上一致连续及 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续可得 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续。
事实上，由 $|f(x)|$ 在区间 $I$ 上一致连续，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时，有 $\left\|f\left(x_{2}\right)|-| f\left(x_{1}\right)\right\|<\varepsilon$ ．
若 $f\left(x_{2}\right), f\left(x_{1}\right)$ 同号，则 $\left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right|=\| f\left(x_{2}\right)\left|-\left|f\left(x_{1}\right)\right|\right|<\varepsilon$ ．
若 $f\left(x_{2}\right), f\left(x_{1}\right)$ 异号，由介值定理，在 $x_{2}, x_{1}$ 之间存在 $c$ 使 $f(c)=0$ 。于是
$$
\begin{aligned}
\left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right| & \leqslant\left|f\left(x_{2}\right)\right|+\left|f\left(x_{1}\right)\right|=\left|f\left(x_{2}\right)\right|-|f(c)|+\left|f\left(x_{1}\right)\right|-|f(c)| \\
& <\left\|f\left(x_{2}\right)\left|-\left|f(c)\|+\| f\left(x_{1}\right)\right|-\right| f(c)\right\|<2 \varepsilon .
\end{aligned}
$$
由此得 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续．
其次
$$
\begin{aligned}
\left|h\left(x_{1}\right)-h\left(x_{2}\right)\right| & =\mid\left(\sin \left(f\left(x_{1}\right)\right)^{3}-\left(\sin \left(f\left(x_{2}\right)\right)^{3} \mid\right.\right. \\
& =\left|\sin \left(f\left(x_{1}\right)\right)-\sin \left(f\left(x_{2}\right)\right)\right| \cdot \mid\left(\sin \left(f\left(x_{1}\right)\right)^{2}+\left(\sin \left(f\left(x_{2}\right)\right)^{2}-\sin \left(f\left(x_{1}\right)\right) \sin \left(f\left(x_{2}\right)\right) \mid\right.\right. \\
& \leqslant 3\left|\sin \left(f\left(x_{1}\right)\right)-\sin \left(f\left(x_{2}\right)\right)\right| \leqslant 3\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|
\end{aligned}
$$
由 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续得 $\sin ^{3}(f(x))$ 在区间 $I$ 上一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：证明(1)：利用Lipschitz条件和幂函数一致连续性
先证 $g(x)=x^\alpha$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。将区间分为 $[0,1]$ 和 $[1,+\infty)$。在 $[1,+\infty)$ 上，$g'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$ 有界，故一致连续；在 $[0,1]$ 上连续，故一致连续。因此 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。对 $\forall \varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，$|x_2^\alpha-x_1^\alpha|<\varepsilon$。由Lipschitz条件，$|f(x_2^\alpha)-f(x_1^\alpha)|\le m|x_2^\alpha-x_1^\alpha|
公式：|f(x')-f(x'')|\le m|x'-x''|
提示：注意幂函数在0点处导数无界，需分段处理。
步骤 2/10
目标：证明(2)：利用导函数极限存在和复合函数一致连续性
由 $f'(x)$ 连续且极限存在，知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。对 $\varepsilon>0$，存在 $\eta>0$，当 $|x_1-x_2|<\eta$ 时，$|f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon$。由 $x^\alpha$ 一致连续，对 $\eta>0$，存在 $\delta>0$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，$|x_2^\alpha-x_1^\alpha|<\eta$。从而 $|f(x_2^\alpha)-f(x_1^\alpha)|<\varepsilon$，故 $f(x^\alpha)$ 一致连续。
提示：注意复合函数一致连续性的传递条件：内层函数一致连续，外层函数一致连续，则复合函数一致连续。
步骤 3/10
目标：证明(3)：利用导数有界或Lipschitz条件
方法1：当 $x>1$ 时，$f'(x)=-\sin(x^p)\cdot p x^{p-1}$，$|f'(x)|\le p$，故 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续；在 $[0,2]$ 上连续，故一致连续。因此 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。方法2：令 $g(u)=\cos u$，则 $g$ 满足Lipschitz条件，由(1)得 $f(x)=g(x^p)$ 一致连续。
公式：|f'(x)|\le p
提示：注意 $p\le 1$ 时 $x^{p-1}$ 在 $x=0$ 处无界，但导数有界性只需在无穷远处考虑。
步骤 4/10
目标：证明(4)：利用幂函数不等式
记 $g(x)=[f(x)]^\alpha$。利用不等式 $|a^\alpha-b^\alpha|\le |a-b|^\alpha$（$a,b\ge0,0<\alpha\le1$），得 $|g(x_1)-g(x_2)|\le |f(x_1)-f(x_2)|^\alpha$。由 $f$ 一致连续，对 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon^{1/\alpha}$，从而 $|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$，故 $g$ 一致连续。
公式：|a^\alpha-b^\alpha|\le |a-b|^\alpha
提示：注意 $\alpha$ 在 $(0,1)$ 内，不等式方向正确。
步骤 5/10
目标：证明(5)：利用正弦函数和连续函数在闭区间上的一致连续性
$g$ 连续，故在 $[-1,1]$ 上一致连续。对 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，当 $y_1,y_2\in[-1,1]$，$|y_1-y_2|<\delta_1$ 时，$|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon$。$\sin x$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致连续，对 $\delta_1$，存在 $\delta>0$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，$|\sin x_1-\sin x_2|<\delta_1$，且 $\sin x_i\in[-1,1]$。从而 $|g(\sin x_1)-g(\sin x_2)|<\varepsilon$，故 $f(x)=g(\sin x)$ 一致连续。
提示：注意外层函数定义域需包含内层函数值域。
步骤 6/10
目标：证明(6)：复合函数一致连续性的一般情形
与(5)类似。$f$ 在 $(a,b)$ 一致连续，$g$ 在 $(c,d)$ 一致连续，且 $f$ 值域含于 $(c,d)$。对 $\varepsilon>0$，存在 $\eta>0$，当 $|y_1-y_2|<\eta$ 时，$|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon$。对 $\eta$，存在 $\delta>0$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，$|f(x_1)-f(x_2)|<\eta$。从而 $|g(f(x_1))-g(f(x_2))|<\varepsilon$，故 $g\circ f$ 一致连续。
提示：注意区间开闭不影响结论，但需保证值域包含关系。
步骤 7/10
目标：证明(7)：利用导数有界和复合函数一致连续性
由 $|f'(x)|\le \mu$ 知 $f$ 在 $(0,1)$ 上一致连续。$\sin x$ 在 $(0,\pi/2)$ 上一致连续，且 $\sin x\in(0,1)$。由(6)得 $F(x)=f(\sin x)$ 在 $(0,\pi/2)$ 上一致连续。
提示：注意 $\sin x$ 在 $(0,\pi/2)$ 上导数有界，故一致连续。
步骤 8/10
目标：证明(8)：利用导数有界或直接不等式
方法1：在 $[0,K]$ 上连续，一致连续；在 $[1,+\infty)$ 上，$|f'(x)|=|\cos\sqrt{x}/(2\sqrt{x})|\le 1/2$，故一致连续。方法2：利用不等式 $|\sin\sqrt{x_1}-\sin\sqrt{x_2}|\le |\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|$，而 $\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，故 $f$ 一致连续。
公式：|\sin a-\sin b|\le |a-b|
提示：注意 $\sqrt{x}$ 在 $0$ 处导数无穷，但整体一致连续。
步骤 9/10
目标：证明(9)(1)：利用三角不等式和一致连续性
记 $g(x)=\sin^3(|f(x)|)$。利用 $|\sin^3 u-\sin^3 v|\le 3|\sin u-\sin v|\le 3|u-v|$，得 $|g(x_1)-g(x_2)|\le 3||f(x_1)|-|f(x_2)||\le 3|f(x_1)-f(x_2)|$。由 $f$ 一致连续得 $g$ 一致连续。
公式：|\sin^3 u-\sin^3 v|\le 3|u-v|
提示：注意绝对值不等式 $||a|-|b||\le |a-b|$。
步骤 10/10
目标：证明(9)(2)：先证 $f$ 一致连续，再利用三角不等式
由 $|f|$ 一致连续，可证 $f$ 一致连续（分同号异号讨论）。然后 $|\sin^3(f(x_1))-\sin^3(f(x_2))|\le 3|f(x_1)-f(x_2)|$，故 $\sin^3(f(x))$ 一致连续。
公式：|\sin^3 u-\sin^3 v|\le 3|u-v|
提示：证明 $f$ 一致连续时，需利用介值定理处理异号情形。
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