上册 2.2 一致连续 第9题
📝 题目
9．设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在（有限）证明：（1）$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续；（2）$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界，讨论 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上的最值；（3）逆命题＂$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在＂是否成立？（请给出证明或反例）．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）因为 $\lim _{x \rightarrow+x} f(x)=A$ ，由 Cauchy 准则，$\forall \varepsilon>0, \exists M>0$ ，当 $x^{\prime}, x^{\prime \prime}>M$ 时，有 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ 。
将区间 $[a,+\infty)$ 分成两段 $[a, M+1]$ 和 $(M,+\infty)$ ．
$f(x)$ 在 $[a, M+1]$ 上连续，从而 $f(x)$ 在 $[a, M+1]$ 上一致连续．对上述 $\varepsilon>0, \exists \delta_{1}>0$ ，当 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, M+1],\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta_{1}$ 时，有 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ．
令 $\delta=\min \left\{1, \delta_{1}\right\}$ ，当 $x^{\prime}, x^{\prime \prime}>a,\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，$x^{\prime}, x^{\prime \prime}$ 要么同属于 $[a, M+1]$ ，要么同属于 $(M,+\infty)$ ，两种情况都有 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ 。于是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
（2）不 妨 记 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，对 $\varepsilon=1$ ，存 在 正 数 $M$ ，当 $x>M$ 时，有 $|f(x)-A|<1$ ．从而 $|f(x)|<|A|+1$ ．
因 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，故 $f(x)$ 在 $[a, M]$ 上连续，从而有界，于是存在正数 $G_{1}$ ，对任给 $x \in[a, M]$ 有 $|f(x)| \leqslant G_{1}$ 。取 $G=\max \left\{G_{1},|A|+1\right\}$ ，则对任何 $x \in[a,+\infty)$ 有 $|f(x)| \leqslant G$ 。故 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界。
$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上必有最大值或最小值．当 $\lim _{x \rightarrow+x} f(x) \leqslant f(a)$ 时，$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有最大值；当 $\lim _{x \rightarrow+x} f(x) \geqslant f(a)$ 时，$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 卜有最小值；当 $f(x) \equiv f(a)$ 时，$f(x)$ 有最大值与最小值．
（3）逆命题不一定成立．例如，$f(x)=\sin x$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，但 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x$ 不存在．
注：结论说明：若当 $x \rightarrow+\infty$ 时，$f(x)$ 的图像趋于水平状态，则 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明一致连续性：利用极限存在和闭区间连续函数一致连续
由 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$ 存在（有限），根据 Cauchy 收敛准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M > 0$，使得当 $x', x'' > M$ 时，有 $|f(x') - f(x'')| < \varepsilon$。将区间 $[a, +\infty)$ 分为 $[a, M+1]$ 和 $(M, +\infty)$。由于 $f$ 在 $[a, M+1]$ 上连续，故一致连续，因此存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $x', x'' \in [a, M+1]$ 且 $|x' - x''| < \delta_1$ 时，有 $|f(x') - f(x'')| < \varepsilon$。取 $\delta = \min\{1, \delta_1\}$，则当 $x', x'' \in [a, +\infty)$ 且 $|x' - x''| < \delta$ 时，$x', x''$ 要么同属于 $[a, M+1]$，要么同属于 $(M, +\infty)$，两种情形均有 $|f(x') - f(x'')| < \varepsilon$，故 $f$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续。
提示：注意 $\delta$ 的选取要保证两个子区间都满足条件，且 $\delta \leq 1$ 确保当 $|x'-x''|<\delta$ 时，两点不会跨过 $M$ 和 $M+1$ 的边界。
步骤 2/5
目标：证明有界性：利用极限存在和闭区间连续函数有界
记 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$。取 $\varepsilon = 1$，则存在 $M > 0$，当 $x > M$ 时，$|f(x) - A| < 1$，从而 $|f(x)| < |A| + 1$。由于 $f$ 在 $[a, M]$ 上连续，故有界，即存在 $G_1 > 0$，使得对任意 $x \in [a, M]$，$|f(x)| \leq G_1$。取 $G = \max\{G_1, |A|+1\}$，则对任意 $x \in [a, +\infty)$，有 $|f(x)| \leq G$，故 $f$ 在 $[a, +\infty)$ 上有界。
提示：注意 $M$ 的选取要保证 $x>M$ 时不等式成立，且 $[a,M]$ 是闭区间。
步骤 3/5
目标：讨论最值的存在性：分情况讨论最大值和最小值
考虑极限 $A = \lim_{x \to +\infty} f(x)$ 与端点值 $f(a)$ 的关系。
- 若 $A \leq f(a)$，则 $f$ 在 $[a, +\infty)$ 上有最大值。因为 $f$ 在 $[a, M]$ 上连续，存在最大值 $\max_{[a,M]} f$，且当 $x > M$ 时 $f(x)$ 接近 $A$，故整体最大值要么在 $[a,M]$ 上取得，要么是 $f(a)$（若 $f(a)$ 更大）。
- 若 $A \geq f(a)$，则 $f$ 在 $[a, +\infty)$ 上有最小值。类似地，$f$ 在 $[a,M]$ 上有最小值，且当 $x > M$ 时 $f(x)$ 接近 $A$，整体最小值要么在 $[a,M]$ 上，要么是 $f(a)$（若 $f(a)$ 更小）。
- 若 $f(x) \equiv f(a)$ 常数，则最大值和最小值均为 $f(a)$。
提示：注意最值不一定同时存在，例如 $f(x)=e^{-x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上有最大值 $1$ 但无最小值（下确界为 $0$ 但取不到）。
步骤 4/5
目标：构造反例说明逆命题不成立
逆命题：若 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，则 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在。该命题不成立。反例：$f(x) = \sin x$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续（因为其导数有界，或直接由一致连续定义可证），但 $\lim_{x \to +\infty} \sin x$ 不存在。
提示：注意一致连续函数不一定有极限，例如周期函数或振荡函数。
步骤 5/5
目标：总结结论
（1）若 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在有限，则 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
（2）$f$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界，且至少存在最大值或最小值（具体取决于极限与端点值的大小关系）。
（3）逆命题不成立，反例为 $\sin x$。
提示：注意一致连续是比连续更强的条件，但极限存在是保证一致连续的充分条件，非必要。
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