上册 2.2 一致连续 第10题
📝 题目
10．证明下列函数在 $[0,+\infty)$ 一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{x^{314}}{\mathrm{e}^{x}}$ ．（2）$f(x)=x \mathrm{e}^{-x^{2}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）因 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \frac{x^{314}}{\mathrm{e}^{x}}=\lim _{x \rightarrow+x}\left[\frac{x}{(\sqrt[314]{\mathrm{e}})^{x}}\right]^{314}=\left[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{(\sqrt[314]{\mathrm{e}})^{x}}\right]^{314}=0$ ．由题 9 得
$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 一致连续．
（2）显然 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续．
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\mathrm{e}^{x^{2}}} & =\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t+x \mathrm{e}^{x^{2}}}{2 x \mathrm{e}^{x^{2}}}=\frac{1}{2}+\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{2 x \mathrm{e}^{x^{2}}} \\
& =\frac{1}{2}+\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{2 \mathrm{e}^{x^{2}}+4 x^{2} \mathrm{e}^{x^{2}}}=\frac{1}{2}+\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{2+4 x^{2}}=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
由题 9，$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析函数连续性
函数 $f(x)=\frac{x^{314}}{e^x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，因为它是初等函数，且分母 $e^x>0$。
提示：注意定义域为 $[0,+\infty)$，在 $x=0$ 处函数值为 $0$。
步骤 2/7
目标：计算极限证明趋于0
计算 $\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{x^{314}}{e^x}$。将 $e^x$ 写成 $(e^{1/314})^{314x}$，则 $f(x)=\left(\frac{x}{(e^{1/314})^x}\right)^{314}$。由于 $\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{a^x}=0$（$a>1$），这里 $a=e^{1/314}>1$，因此极限为 $0$。
公式：$\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{a^x}=0$ 当 $a>1$
提示：注意指数运算：$e^x = (e^{1/314})^{314x}$，不要混淆。
步骤 3/7
目标：应用一致连续性定理
由题9结论：若函数在 $[0,+\infty)$ 上连续且极限 $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在（有限），则函数在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。这里 $f(x)$ 连续且极限为0，故一致连续。
提示：题9是已知定理，需直接引用。
步骤 4/7
目标：分析第二个函数的连续性
函数 $f(x)=x e^{-x^2} \int_0^x e^{t^2} dt$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，因为 $x e^{-x^2}$ 连续，积分上限函数 $\int_0^x e^{t^2} dt$ 连续，乘积连续。
提示：注意 $e^{-x^2}$ 和 $e^{t^2}$ 都是连续函数。
步骤 5/7
目标：计算极限（洛必达法则）
考虑 $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} \frac{x \int_0^x e^{t^2} dt}{e^{x^2}}$。这是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，应用洛必达法则：分子导数为 $\int_0^x e^{t^2} dt + x e^{x^2}$，分母导数为 $2x e^{x^2}$。于是极限为 $\lim_{x\to+\infty} \frac{\int_0^x e^{t^2} dt + x e^{x^2}}{2x e^{x^2}} = \frac{1}{2} + \lim_{x\to+\infty} \frac{\int_0^x e^{t^2} dt}{2x e^{x^2}}$。
公式：洛必达法则：$\lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'}$
提示：注意分子求导时，$\frac{d}{dx} \left( x \int_0^x e^{t^2} dt \right) = \int_0^x e^{t^2} dt + x e^{x^2}$。
步骤 6/7
目标：再次应用洛必达法则
对 $\lim_{x\to+\infty} \frac{\int_0^x e^{t^2} dt}{2x e^{x^2}}$ 再次使用洛必达法则：分子导数为 $e^{x^2}$，分母导数为 $2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2}$。因此极限为 $\lim_{x\to+\infty} \frac{e^{x^2}}{2e^{x^2}+4x^2 e^{x^2}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{2+4x^2} = 0$。
提示：注意分母求导时使用乘积法则：$(2x e^{x^2})' = 2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2}$。
步骤 7/7
目标：得出极限值并应用定理
因此 $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$，极限存在。由题9，$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且极限存在，故一致连续。
提示：极限为有限值，满足题9条件。
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