上册 2.2 一致连续 第11题
📝 题目
11．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续， $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在（或 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x), \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在）证明 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续；反之成立吗？试证之，否则，请举出反例。
（2）设函数 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上连续，求证：如果 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 和 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在（有限），那么函数 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例．
（3）设函数 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上连续，$f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上是否一致连续？若是请证明，若不是，请举反倒．讨论对 $f(x)$ 加什么条件能使 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 一致连续．
（4）设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续并且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=B$ ，求证 $f(x) g(x)$ 在 $[a,+\infty)$上一致连续．
（5）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续并且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在。令 $g(x)=f(x)+\sin ^{2} x$ 。证明 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续。
💡 答案解析
证明过程：
（1）方法 1：由 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在及 Cauchy 收玫准则，$\forall \varepsilon>0, \exists A>0$ ，使得当 $x_{1}, x_{2} \in \mathbf{R}$ ，当 $\left|x_{1}\right| \geqslant A,\left|x_{2}\right| \geqslant A$ 时，有 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon$ 。
$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，从而在 $[-(A+1), A+1]$ 上连续，进而一致连续。对上述 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{1}>0$ ，当 $x_{1}, x_{2} \in[-(A+1), A+1]$ ，且 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta_{1}$ 时，有 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon$ 。
取 $\delta=\min \left\{\delta_{1}, 1\right\}$ ，则对任意 $x_{1}, x_{2} \in \mathbf{R},\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ ，必有下列之一情况：
（1）$\left|x_{1}\right| \geqslant A,\left|x_{2}\right| \geqslant A$ ；（2）$\left|x_{1}\right|
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明(1)中充分性：利用极限存在和连续函数在闭区间上一致连续
由 $\lim_{x\to\infty}f(x)$ 存在，根据Cauchy收敛准则，$\forall\varepsilon>0$，$\exists A>0$，使得当 $|x_1|\geq A, |x_2|\geq A$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。又 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，从而在闭区间 $[-(A+1), A+1]$ 上一致连续，故对上述 $\varepsilon$，$\exists\delta_1>0$，当 $x_1,x_2\in[-(A+1),A+1]$ 且 $|x_1-x_2|<\delta_1$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。取 $\delta=\min\{\delta_1,1\}$，则对任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ 且 $|x_1-x_2|<\delta$，分两种情况：若 $|x_1|\geq A,|x_2|\geq A$，则直接由极限存在得到 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$；若 $|x_1|
提示：注意取 $\delta$ 时要考虑区间衔接，确保 $|x_2|\leq A+1$。
步骤 2/7
目标：证明(1)中反例：一致连续但极限不存在
逆命题不成立。反例：$f(x)=x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续（因为满足Lipschitz条件），但 $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$，$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$，均不存在。
提示：一致连续函数不一定有极限，例如无界函数也可能一致连续。
步骤 3/7
目标：证明(2)中充分性：利用左右极限存在将区间分为两段
由 $\lim_{x\to a^+}f(x)$ 存在，可补充定义 $f(a)$ 为该极限，则 $f(x)$ 在 $[a,a+1]$ 上连续，从而一致连续。由 $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在，类似(1)可得 $f(x)$ 在 $[a+1,+\infty)$ 上一致连续。由于两区间有重叠部分 $[a+1,a+1]$，整体一致连续。
提示：注意区间端点处的一致性，利用重叠部分保证整体一致连续。
步骤 4/7
目标：证明(2)中反例：一致连续但右极限不存在
逆命题不成立。反例：$f(x)=\sin x$ 在 $(a,+\infty)$ 上一致连续（因为导数有界），但 $\lim_{x\to+\infty}\sin x$ 不存在。
提示：一致连续函数在无穷远处不一定有极限，如周期函数。
步骤 5/7
目标：证明(3)：连续函数不一定一致连续，并给出充分条件
反例：$f(x)=x^2$ 在 $(a,+\infty)$ 上连续，但非一致连续（因为导数无界）。充分条件：若 $\lim_{x\to a^+}f(x)$ 和 $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 都存在，则由(2)知 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上一致连续。
提示：一致连续要求函数变化不能太快，导数有界是充分条件。
步骤 6/7
目标：证明(4)：利用极限存在推出函数有界且一致连续，进而乘积一致连续
由 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$ 和 $\lim_{x\to+\infty}g(x)=B$ 存在，根据(1)的结论，$f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。又由极限存在知 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有界，设 $|f(x)|\leq M$，$|g(x)|\leq N$。则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使得当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，$|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2N}$，$|g(x_1)-g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2M}$。于是 $|f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)|\leq |f(x_1)||g(x_1)-g(x_2)|+|g(x_2)||f(x_1)-f(x_2)|
公式：|f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)|\leq |f(x_1)||g(x_1)-g(x_2)|+|g(x_2)||f(x_1)-f(x_2)|
提示：注意有界性的使用，以及 $\delta$ 的选取要同时满足两个函数。
步骤 7/7
目标：证明(5)：利用一致连续函数的和仍一致连续
由 $\lim_{x\to\infty}f(x)$ 存在及(1)知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续。又 $\sin^2 x$ 的导数为 $2\sin x\cos x=\sin 2x$，有界，故 $\sin^2 x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续。两个一致连续函数的和仍一致连续，所以 $g(x)=f(x)+\sin^2 x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续。
提示：注意 $\sin^2 x$ 的一致连续性可由导数有界或周期函数性质得到。
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