上册 2.2 一致连续 第12题
📝 题目
12．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，$\varphi(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ 。证明 $\varphi(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。重庆大学 2012，南京师大 2012，安徽大学 2010，夏门大学 2009，湘潭大学 2008 ，浙江大学 2003 ，中山大学 2002 ，上海交大 2002 ，华南师大 $2010 / 2008$ ，桂林电子科技 2007 ，北京交大 1998 ，北京科技 2006，华东理工 2000，华南理工 2001，兰州大学 2005，太原理工 2006，西北大学 2010，华中科技 1997）
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-c x-d]=0$ ．证明 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
（3）设 $f \in C[a,+\infty)$ ，且当 $x \rightarrow+\infty$ 时 $y=a x+b$ 是 $y=f(x)$ 的渐近线．证明 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\varphi(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\varphi(x)-\frac{x^{2005}}{\mathrm{e}^{x}}\right)=0$ ．证明 $\varphi(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．
（5）设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $\lim _{x \rightarrow+x}(f(x)-k \sqrt{x})=0$ ，证明 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
（6）设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且导函数有界，函数 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} x[f(x)-g(x)]=2011$ ．证明 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）令 $F(x)=f(x)-\varphi(x)$ ，则 $F(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)$ 存在．由题 $9, F(x)$ 在 $[a,+\infty)$上一致连续，从而 $\varphi(x)=f(x)-F(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
（2）由于 $g^{\prime}(x)=c$ ，故 $g(x)=c x+d$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
令 $F(x)=f(x)-g(x)$ ，则 $F(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续．又 $\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)$ 存在，由题 $9, F(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．故 $f(x)=F(x)+g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
（3）因 $y=a x+b$ 是 $y=f(x)$ 的渐近线，所以 $\lim _{x \rightarrow+x}[f(x)-a x-b]=0$ ．由（2）知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 一致连续。
（4）$\displaystyle \frac{x^{2005}}{\mathrm{e}^{x}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \frac{x^{2005}}{\mathrm{e}^{x}}=0$ ．所以 $\displaystyle \frac{x^{2005}}{\mathrm{e}^{x}}$ 在 $[0,+\infty) \mathrm{t}$ 。一致连续．又由 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\varphi(x)-\frac{x^{2005}}{\mathrm{e}^{x}}\right)=0$ 及 $\varphi(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，由（1）得 $\varphi(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。
（5）由于 $y=\sqrt{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 一致连续，由（1）得 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
（6）由于函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续且导函数有界，故 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ ：一致连续．
又由 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x(f(x)-g(x))=2011$ ，得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-g(x))=\lim _{x \rightarrow+x} \frac{2011}{x}=0$ ．由（1），$g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
注：若连续函数可在无穷远处充分接近一个一致连续函数，则其必一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明(1)：利用一致连续函数的差
令 $F(x)=f(x)-\varphi(x)$，则 $F(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x\to+\infty}F(x)=0$ 存在。由已知结论：若函数在无穷远处极限存在，则它在区间上一致连续，故 $F(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。又 $\varphi(x)=f(x)-F(x)$，而 $f(x)$ 一致连续，$F(x)$ 一致连续，所以 $\varphi(x)$ 一致连续。
公式：$\varphi(x)=f(x)-F(x)$
提示：注意一致连续函数在加减运算下保持一致性，但需验证每个函数均一致连续。
步骤 2/6
目标：证明(2)：构造线性函数与差函数
令 $g(x)=cx+d$，则 $g'(x)=c$ 有界，故 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。令 $F(x)=f(x)-g(x)$，则 $F(x)$ 连续且 $\lim_{x\to+\infty}F(x)=0$，由(1)知 $F(x)$ 一致连续。因此 $f(x)=F(x)+g(x)$ 一致连续。
公式：$f(x)=F(x)+g(x)$
提示：线性函数在无穷区间上一致连续，因为其导数有界。
步骤 3/6
目标：证明(3)：利用渐近线定义转化为(2)
由渐近线定义，$\lim_{x\to+\infty}[f(x)-ax-b]=0$。令 $c=a,d=b$，则满足(2)的条件，故 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
公式：$\lim_{x\to+\infty}[f(x)-ax-b]=0$
提示：渐近线定义中极限为0是核心条件。
步骤 4/6
目标：证明(4)：验证函数 $\frac{x^{2005}}{e^x}$ 一致连续
函数 $h(x)=\frac{x^{2005}}{e^x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$，故 $h(x)$ 一致连续。由条件 $\lim_{x\to\infty}(\varphi(x)-h(x))=0$ 及 $\varphi(x)$ 连续，根据(1)知 $\varphi(x)$ 一致连续。
公式：$\lim_{x\to\infty}(\varphi(x)-\frac{x^{2005}}{e^x})=0$
提示：注意 $\frac{x^{2005}}{e^x}$ 在无穷远处趋于0，因此极限存在。
步骤 5/6
目标：证明(5)：利用 $\sqrt{x}$ 的一致连续性
函数 $\sqrt{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续（因为导数有界或直接验证）。由条件 $\lim_{x\to+\infty}(f(x)-k\sqrt{x})=0$，根据(1)知 $f(x)$ 一致连续。
公式：$\lim_{x\to+\infty}(f(x)-k\sqrt{x})=0$
提示：$\sqrt{x}$ 在无穷区间上一致连续，但需注意 $a>0$ 以保证导数有界。
步骤 6/6
目标：证明(6)：由导数有界得 $f(x)$ 一致连续
因为 $f'(x)$ 有界，所以 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。由条件 $\lim_{x\to+\infty}x(f(x)-g(x))=2011$，得 $\lim_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to+\infty}\frac{2011}{x}=0$。根据(1)，$g(x)$ 一致连续。
公式：$\lim_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=0$
提示：注意由 $\lim x(f-g)=2011$ 推出 $\lim (f-g)=0$ 需要 $x\to+\infty$。
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