上册 2.2 一致连续 第13题
📝 题目
13．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, g(x), g^{\prime}(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界。求证 $f(x) g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
（2）设 $f(x)$ 为 $(0,+\infty)$ 内的连续函数， $\lim _{x \rightarrow 0^{\prime}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow+x} f(x)=0$ ．试证：（1）$\displaystyle f(x) \sin \frac{1}{x}$ 在 $[a,+\infty)(a>0)$ 内一致连续；（2）$\displaystyle f(x) \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内非一致连续。南京师大 2007）
（3）设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续且有界，讨论 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内一致连续．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）由题 $9, f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 内一致连续且有界。由题 $4, g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 内一致连续．由题 5 ， $f(x) g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
（2）由题 11，$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 内一致连续且有界．又 $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 内一致连续且有界，由题 5得 $\displaystyle f(x) \sin \frac{1}{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 内一致连续．但 $\displaystyle f(x) \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内非一致连续．
事实上，由 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty, \exists \delta^{\prime}>0$ ，当 $0\varepsilon_{0}
$$
所以 $\displaystyle f(x) \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内非一致连续．
（3）不一定．对 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ ，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续且有界，但 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内非一致连续．
事实上，取 $\varepsilon_{0}<1$ ，对 $\forall \delta>0$ ，只要 $n$ 充分大，总有 $\displaystyle x^{\prime}=\frac{2}{(2 n+1) \pi}, x^{\prime \prime}=\frac{1}{n \pi}$ 且 $\displaystyle \left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|=\frac{1}{(2 n+1) n \pi}<\delta$
但
$$
\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n}^{\prime}\right)\right|=\left|\sin \frac{1}{x^{\prime}}-\sin \frac{1}{x^{\prime \prime}}\right|=1>\varepsilon .
$$
所以 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内非一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明(1)中f(x)和g(x)的性质
由于$f(x)$在$[a,+\infty)$上连续且$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$存在，则$f(x)$在$[a,+\infty)$上一致连续且有界。$g(x)$可导且$g'(x)$有界，由拉格朗日中值定理知$g(x)$在$[a,+\infty)$上一致连续。
公式：拉格朗日中值定理：$|g(x)-g(y)|=|g'(\xi)||x-y|\leq M|x-y|$
提示：注意有界导函数推出Lipschitz条件，从而一致连续。
步骤 2/5
目标：证明(1)中乘积的一致连续性
利用一致连续函数的乘积仍一致连续的结论（需验证有界性）：由于$f(x)$和$g(x)$均在$[a,+\infty)$上一致连续且有界，则$f(x)g(x)$在$[a,+\infty)$上一致连续。
公式：若$f,g$一致连续且有界，则$fg$一致连续。
提示：需注意乘积的一致连续性需要两个函数都有界，否则反例存在。
步骤 3/5
目标：证明(2)中在$[a,+\infty)$上的一致连续性
由$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$知$f(x)$在$[a,+\infty)$上有界且一致连续（类似(1)）。$\sin\frac{1}{x}$在$[a,+\infty)$上连续且导数有界，故一致连续。由(1)结论，乘积$f(x)\sin\frac{1}{x}$在$[a,+\infty)$上一致连续。
提示：注意$[a,+\infty)$中$a>0$，避免$x=0$附近的问题。
步骤 4/5
目标：证明(2)中在$(0,+\infty)$上非一致连续
取$\varepsilon_0=\frac{1}{2}$。由$\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$，存在$\delta'>0$使得当$00$，取$n$充分大使得$x_n=\frac{1}{n\pi}$和$x_n'=\frac{2}{(2n+1)\pi}$均小于$\delta'$且$|x_n-x_n'|=\frac{1}{n(2n+1)\pi}<\delta$。则$|f(x_n)\sin\frac{1}{x_n}-f(x_n')\sin\frac{1}{x_n'}|=|0-f(x_n')\cdot1|=f(x_n')\geq 1>\varepsilon_0$，故非一致连续。
提示：注意选取的点使得正弦值分别为0和1，且$f$在0附近无界。
步骤 5/5
目标：讨论(3)中一致连续性的条件
不一定。反例：$f(x)=\sin\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上连续且有界，但非一致连续。取$\varepsilon_0<1$，对任意$\delta>0$，取$n$充分大使得$x'=\frac{2}{(2n+1)\pi}$和$x''=\frac{1}{n\pi}$满足$|x'-x''|=\frac{1}{(2n+1)n\pi}<\delta$，但$|f(x')-f(x'')|=|\sin\frac{(2n+1)\pi}{2}-\sin n\pi|=1>\varepsilon_0$。
提示：注意有界且连续不能保证一致连续，反例通常来自振荡。
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