上册 2.2 一致连续 第14题
📝 题目
14．证明下列结论．
（1）设 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意的 $x \geqslant 0$ ，有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} g(x+n)=A$ ．试证 $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=A$ ．
（2）设 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意的 $\delta \geqslant 0$ ，有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} g(n \delta)=0$ 。试证 $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\forall h>0, \lim _{n \rightarrow \infty} f(n h)$ 收敛，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续当且仅当 $\lim _{x \rightarrow+x} f(x)$ 存在．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）先证：若函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\forall x>0$ ，有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} f(x+n)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明如下：
因 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，故 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \geqslant 0$ 且 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，有 $\displaystyle \left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}$.
取自然数 $k$ 满足 $\displaystyle \frac{1}{k}<\delta$ ，将区间 $k$ 等分，记分点为 $\displaystyle x_{i}=\frac{i}{k}(i=1,2, \cdots, k)$ ．间距 $\displaystyle x_{i}-x_{i-1}=\frac{1}{k}<\delta$ ．对于小区间中的任意两点 $x, y$ ，也有 $\displaystyle x-y=\frac{1}{k}<\delta$ ．
由已知条件，对每个 $\displaystyle x_{i}=\frac{i}{k}$ ，有 $\lim _{n \rightarrow+x} f\left(x_{i}+n\right)=0$ ．从而存在 $N_{i}>0$ ，使当 $n>N_{i}$ 时，有 $\displaystyle \left|f\left(x_{i}+n\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}$.
令 $N=\max _{1N$ 时，$\displaystyle \left|f\left(x_{i}+n\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2},(i=1,2, \cdots, k)$ ．
下证：当 $x>N$ 时，$|f(x)|<\varepsilon$ ．
对任意 $x>N$ ，记 $n=[x] \geqslant N$ ，其中 $[x]$ 表示小于 $x$ 的最大整数．因 $x-n \in[0,1]$ ，故存在 $1 \leqslant i \leqslant k$ 使得 $\left|(x-n)-x_{i}\right|<\delta$ ，即 $\left|x-\left(n+x_{i}\right)\right|<\delta$ ．从而 $\displaystyle \left|f(x)-f\left(n+x_{i}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ ．于是
$$
|f(x)| \leqslant\left|f(x)-f\left(n+x_{i}\right)\right|+\left|f\left(n+x_{i}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
$$
故 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
记 $f(x)=g(x)-A$ ，则函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\forall x>0$ ，有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} f(x+n)=0$ ，因此 $\lim _{x \rightarrow+x} f(x)=0$ ．于是 $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=A$ ．
（2）因为 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，于是对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $\forall x, y \in[0,+\infty)$ ， $|x-y|<\delta$ 时，有 $|g(x)-g(y)|<\varepsilon$ ．
由 $\lim _{n \rightarrow \infty} g(n \delta)=0$ ，对于上述 $\varepsilon>0$ ，存在正整数 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时，有 $|g(n \delta)|<\varepsilon$ 。
取 $M=N \delta$ ，对任意 $x \geqslant M$ ，存在正整数 $n \geqslant N$ ，使得 $n \delta \leqslant x<(n+1) \delta$ ，即 $0 \leqslant x-n \delta<\delta$ 。于是
$$
|g(x)| \leqslant|f(x)-g(n \delta)|+|g(n \delta)|<2 \varepsilon
$$
故 $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$ ．
（3）必要性：设 $\forall h>0, \lim _{n \rightarrow \infty} f(n h)=A$ ，记 $g(x)=f(x)-A$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} g(n h)=\lim _{n \rightarrow \infty}[f(n h)-A]=0$ ．由（2）得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$ ．于是 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．
充分性：由于 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，由题 9 得 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：（1）将问题转化为已知结论
令 $f(x)=g(x)-A$，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意 $x\geq 0$，有 $\lim_{n\to+\infty} f(x+n)=0$。只需证明 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$，即可得 $\lim_{x\to+\infty} g(x)=A$。
提示：注意转化后要验证 $f(x)$ 仍满足一致连续性和极限条件。
步骤 2/9
目标：（1）利用一致连续性取δ
由 $f(x)$ 一致连续，对 $\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，当 $|x'-x''|<\delta$ 时，$|f(x')-f(x'')|<\frac{\varepsilon}{2}$。
提示：一致连续定义中的δ只依赖于ε，不依赖于x。
步骤 3/9
目标：（1）构造分点并利用点态极限
取自然数 $k$ 满足 $\frac{1}{k}<\delta$，将区间 $[0,1]$ 等分为 $k$ 份，分点 $x_i=\frac{i}{k}$（$i=1,2,\dots,k$）。对每个 $x_i$，由 $\lim_{n\to+\infty} f(x_i+n)=0$，存在 $N_i$，当 $n>N_i$ 时 $|f(x_i+n)|<\frac{\varepsilon}{2}$。令 $N=\max_{1\le i\le k}\{N_i\}$，则当 $n>N$ 时，对所有 $i$ 有 $|f(x_i+n)|<\frac{\varepsilon}{2}$。
提示：注意分点个数有限，才能取最大值N。
步骤 4/9
目标：（1）对任意大x估计|f(x)|
对任意 $x>N$，令 $n=[x]\ge N$，则 $x-n\in[0,1]$。存在某个 $i$ 使得 $|(x-n)-x_i|<\delta$，即 $|x-(n+x_i)|<\delta$。由一致连续性，$|f(x)-f(n+x_i)|<\frac{\varepsilon}{2}$。于是
$$|f(x)|\le |f(x)-f(n+x_i)|+|f(n+x_i)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$$
故 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$，从而 $\lim_{x\to+\infty} g(x)=A$。
提示：注意 $n=[x]$ 是整数，且 $n\ge N$ 保证了 $|f(n+x_i)|<\varepsilon/2$。
步骤 5/9
目标：（2）利用一致连续性取δ
由 $g(x)$ 一致连续，对 $\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，当 $|x-y|<\delta$ 时，$|g(x)-g(y)|<\varepsilon$。
提示：与（1）类似，δ只依赖于ε。
步骤 6/9
目标：（2）利用数列极限得到N
由 $\lim_{n\to\infty} g(n\delta)=0$，对上述 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n\ge N$ 时 $|g(n\delta)|<\varepsilon$。
提示：注意这里δ是前面一致连续性得到的，不是任意的。
步骤 7/9
目标：（2）对任意大x估计|g(x)|
取 $M=N\delta$，对任意 $x\ge M$，存在 $n\ge N$ 使得 $n\delta\le x<(n+1)\delta$，则 $0\le x-n\delta<\delta$。由一致连续性，$|g(x)-g(n\delta)|<\varepsilon$，于是
$$|g(x)|\le |g(x)-g(n\delta)|+|g(n\delta)|<\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon.$$
故 $\lim_{x\to+\infty} g(x)=0$。
提示：注意这里得到的是 $2\varepsilon$，但ε任意，所以极限为0。
步骤 8/9
目标：（3）证明必要性
设 $\forall h>0$，$\lim_{n\to\infty} f(nh)=A$。令 $g(x)=f(x)-A$，则 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意 $\delta>0$，$\lim_{n\to\infty} g(n\delta)=0$。由（2）得 $\lim_{x\to+\infty} g(x)=0$，即 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=A$。
提示：注意这里需要验证 $g(x)$ 一致连续（因为 $f(x)$ 一致连续，减去常数仍一致连续）。
步骤 9/9
目标：（3）证明充分性
若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且 $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ 存在，则由已知结论（如题9）可知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。
提示：充分性不需要用到条件 $\forall h>0$，$\lim_{n\to\infty} f(nh)$ 收敛，因为极限存在已经蕴含了该条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。