上册 2.2 一致连续 第15题
📝 题目
15．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续，证明存在正数 $a, b$ ，对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $|f(x)| \leqslant a|x|+b$ 。
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上满足利普希茨条件 $(a>0)$ ．证明 $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界，并且一致连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致连续，对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $\forall x, y \in(-\infty,+\infty),|x-y|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ ．
$\forall x \in \mathbf{R}, \exists n \in \mathbf{Z}$ ，使得 $x=n \delta+x_{0}, x_{0} \in(-\delta, \delta)$ ．
由 $f(x)$ 在 $[-\delta, \delta]$ 上有界，$\exists M>0$ 使 $|f(x)| \leqslant M, x \in[-\delta, \delta]$ ．
由 $f(x)=\sum_{k=1}^{n}\left[f\left(k \delta+x_{0}\right)-f\left((k-1) \delta+x_{0}\right)\right]+f\left(x_{0}\right)$ 有
$$
|f(x)| \leqslant \sum_{k=1}^{n}\left|\left[f\left(k \delta+x_{0}\right)-f\left((k-1) \delta+x_{0}\right)\right]\right|+\left|f\left(x_{0}\right)\right| \leqslant|n| \varepsilon+M
$$
由 $x=n \delta+x_{0}$ 得 $\displaystyle |n|=\left|\frac{x-x_{0}}{\delta}\right|$ ．代人上式得
$$
|f(x)| \leqslant \frac{\varepsilon}{\delta}\left|x-x_{0}\right|+M \leqslant \frac{\varepsilon}{\delta}|x|+M+\frac{\varepsilon}{\delta}\left|x_{0}\right| \leqslant \frac{\varepsilon}{\delta}|x|+M+\varepsilon
$$
特别地，取 $\varepsilon_{0}=1, \exists \delta_{0}>0$ ，有 $\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{1}{\delta_{0}}|x|+M+1$ 。取 $a=1 / \delta_{0}, b=M+1$ ，则结论成立．
（2）因函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上满足利普希茨条件，故函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
由（1），存在正数 $c, b$ ，对 $\forall x \in[a,+\infty)$ 有 $|f(x)| \leqslant c|x|+b$ 。从而 $\displaystyle \frac{|f(x)|}{x} \leqslant c+\frac{b}{x}$ ．
由 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{b}{x}=0$ 得 $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界．又对 $\forall x_{1}, x_{2} \in[a,+\infty)$ 有
$$
\left|g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)\right| \leqslant \frac{1}{x_{1}}\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|+\frac{\left|f\left(x_{2}\right)\right|}{x_{1} x_{2}}\left|x_{1}-x_{2}\right| \leqslant \frac{1}{a}\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|+\frac{\left|f\left(x_{2}\right)\right|}{a x_{2}}\left|x_{1}-x_{2}\right| .
$$
所以 $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用一致连续性得到局部有界性
由 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续，取 $\varepsilon=1$，则存在 $\delta>0$，使得当 $|x-y|<\delta$ 时，$|f(x)-f(y)|<1$。特别地，在区间 $[-\delta, \delta]$ 上，$f(x)$ 有界，即存在 $M>0$，使得 $|f(x)|\leq M$ 对 $x\in[-\delta,\delta]$ 成立。
公式：一致连续定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x,y:|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续性与局部有界性的关系，这里取 $\varepsilon=1$ 是为了得到具体的界。
步骤 2/6
目标：将任意实数表示为整数倍步长加小量
对任意 $x\in\mathbb{R}$，存在整数 $n$ 和 $x_0\in(-\delta,\delta)$，使得 $x=n\delta+x_0$。例如，取 $n=\lfloor x/\delta \rfloor$，$x_0=x-n\delta$。
提示：注意 $n$ 可能为负数，但绝对值表示步数。
步骤 3/6
目标：利用一致连续性放缩函数值
将 $f(x)$ 写成累加形式：$f(x)=f(x_0)+\sum_{k=1}^{n}[f(k\delta+x_0)-f((k-1)\delta+x_0)]$。由于相邻两点距离为 $\delta$，由一致连续性，每个差分的绝对值小于 $1$，因此 $|f(x)|\leq |f(x_0)|+\sum_{k=1}^{n}1\leq M+|n|$。
提示：注意 $n$ 可能为负，但绝对值处理时需小心，实际上 $|n|$ 表示步数。
步骤 4/6
目标：将步数用 $x$ 表示并得到线性界
由 $x=n\delta+x_0$ 得 $|n|=\left|\frac{x-x_0}{\delta}\right|\leq \frac{|x|}{\delta}+\frac{|x_0|}{\delta}$。代入得 $|f(x)|\leq M+\frac{|x|}{\delta}+\frac{|x_0|}{\delta}\leq \frac{1}{\delta}|x|+M+1$。取 $a=1/\delta$，$b=M+1$，则 $|f(x)|\leq a|x|+b$。
提示：注意 $|x_0|<\delta$，所以 $|x_0|/\delta<1$，从而得到常数项 $b$。
步骤 5/6
目标：证明 $g(x)$ 有界
由 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上满足利普希茨条件，知 $f$ 一致连续。由（1）知存在 $c,d>0$ 使得 $|f(x)|\leq c|x|+d$。于是 $|g(x)|=\frac{|f(x)|}{x}\leq c+\frac{d}{x}\leq c+\frac{d}{a}$，故 $g(x)$ 有界。
公式：利普希茨条件：$|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|$
提示：注意 $x\geq a>0$，所以分母 $x$ 有正下界。
步骤 6/6
目标：证明 $g(x)$ 一致连续
对任意 $x_1,x_2\geq a$，有
$$\begin{aligned}
|g(x_1)-g(x_2)| &=\left|\frac{f(x_1)}{x_1}-\frac{f(x_2)}{x_2}\right| \\
&\leq \frac{1}{x_1}|f(x_1)-f(x_2)|+\frac{|f(x_2)|}{x_1x_2}|x_1-x_2| \\
&\leq \frac{1}{a}|f(x_1)-f(x_2)|+\frac{|f(x_2)|}{a x_2}|x_1-x_2|.
\end{aligned}$$
由于 $f$ 一致连续，且 $|f(x_2)|/x_2$ 有界，故 $g$ 一致连续。
公式：三角不等式和利普希茨条件
提示：注意 $x_1x_2\geq a^2$，但这里用 $x_1\geq a$ 和 $x_2\geq a$ 分别处理。
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