上册 2.2 一致连续 第16题

\section*{解题过程：} （1）必要性：由 $f(x)$ 在 $I$ 上一致收敛，$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，$\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ． 由 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}^{\prime}-x_{n}^{\prime \prime}\right)=0$ ，对上述 $\delta>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，$\left|x_{n}^{\prime}-x_{n}^{\prime \prime}\right|<\delta$ ，从而 $\left|f\left(x_{n}^{\prime}\right)-f\left(x_{n}^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ 。所以 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(x_{n}^{\prime}\right)-f\left(x_{n}^{\prime \prime}\right)\right]=0$ ． 充分性：已知区间 $I$ 上的两个数列 $\left\{x_{n}^{\prime}\right\}$ 与 $\left\{x_{n}^{\prime \prime}\right\}$ ，当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}^{\prime}-x_{n}^{\prime \prime}\right)=0$ 时，有 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(x_{n}^{\prime}\right)-f\left(x_{n}^{\prime \prime}\right)\right)=0$ ．现证：函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是一致连续的． 用反证法。如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上不一致连续，则存在 $\varepsilon_{0}>0$ ，对任意的 $\delta>0$ ，存在 $x^{\prime} \in I, x^{\prime \prime} \in I,\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ ，但 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|>\varepsilon_{0}$ ． 对 $\delta_{1}=1$ ，存在 $x_{1}^{\prime} \in I, x_{1}^{\prime \prime} \in I$ ，满足 $\left|x_{1}^{\prime}-x_{1}^{\prime \prime}\right|<\delta_{1}$ ，但 $\left|f\left(x_{1}^{\prime}\right)-f\left(x_{1}^{\prime \prime}\right)\right|>\varepsilon_{0}$ ． 对 $\displaystyle \delta_{2}=\frac{1}{2}$ ，存在 $x_{2}^{\prime} \in I, x_{2}^{\prime \prime} \in I$ ，满足 $\left|x_{2}^{\prime}-x_{2}^{\prime \prime}\right|<\delta_{2}$ ，但 $\left|f\left(x_{2}^{\prime}\right)-f\left(x_{2}^{\prime \prime}\right)\right|>\varepsilon_{0}$ ． 一般来讲，对 $\displaystyle \delta_{n}=\frac{1}{n}$ ，存在 $x_{n}^{\prime} \in I, x_{n}^{\prime \prime} \in I$ ，满足 $\left|x_{n}^{\prime}-x_{n}^{\prime \prime}\right|<\delta_{n}$ ，但 $\left|f\left(x_{n}^{\prime}\right)-f\left(x_{n}^{\prime \prime}\right)\right|>\varepsilon_{0}, n=1,2, \cdots$ 。 由此得两数列 $\left\{x_{n}^{\prime}\right\}$ 与 $\left\{x_{n}^{\prime \prime}\right\}$ ，满足 $\left|x_{n}^{\prime}-x_{n}^{\prime \prime}\right|<\delta_{n}$ ，因而 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}^{\prime}-x_{n}^{\prime \prime}\right)=0$ ，但 $\left|f\left(x_{n}^{\prime}\right)-f\left(x_{n}^{\prime \prime}\right)\right|>\varepsilon_{0}$ ．这与已知条件矛盾．所以函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续． （2）必要性．因 $f(x)$ 在 $I$ 上一致连续，故 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in I$ 且 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，有 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ． 又因 $\left\{x_{n}\right\} \subset I$ 为 Cauchy 列，则对 $\delta>0, \exists N>0$ ，当 $n, m>N$ 时，有 $\left|x_{n}-x_{m}\right|<\delta$ 。从而有 $\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{m}\right)\right|<\varepsilon$ 。故 $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 也为 Cauchy 序列。 充分性。假设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上非一致连续，则 $\exists \varepsilon_{0}>0, \forall \delta>0, \exists x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in I,\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ ，但 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \geqslant \varepsilon_{0}$ ． 依次取 $\displaystyle \delta=\frac{1}{n},(n=1,2, \cdots)$ ，存在 $x_{n}, y_{n} \in I$ ，满足 $\displaystyle \left|x_{n}-y_{n}\right|<\frac{1}{n}$ ，但 $\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right| \geqslant \varepsilon_{0}$ 。 因 $x_{n} \in I, I$ 为有限区间，故 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界，从而存在收敛子列 $\left\{x_{n_{n}}\right\}$ 。由 $\left|x_{n}-y_{n}\right| \rightarrow 0,\left\{y_{n}\right\}$ 中有相应的子列 $\left\{y_{n_{1}}\right\}$ 也收敛于相同的极限。从而数列 $\left\{z_{n}\right\}: x_{n_{1}}, y_{n_{1}}, \cdots, x_{n_{k}}, y_{n_{k}}, \cdots$ 也收敛，为 Cauchy 序列。 但数列 $\left\{f\left(z_{n}\right)\right\}: f\left(x_{n_{1}}\right), f\left(y_{n_{1}}\right), \cdots, f\left(x_{n_{1}}\right), f\left(y_{n_{1}}\right), \cdots$ ，恒有 $\left|f\left(x_{n_{1}}\right)-f\left(y_{n_{1}}\right)\right| \geqslant \varepsilon_{0}$ ，即不是 Cauchy序列。矛盾！故 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续． （3）（I）记 $I=(-\infty,+\infty)$ 。因 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续，所以 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in I$ 月 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，有 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ． 又 $\lim _{n \rightarrow x}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，则对 $\delta>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n+1}-a_{n}\right|<\delta$ ．从而有 $\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|<\varepsilon$ ，即 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|=0$ ． （II）设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上非一致连续，则 $\exists \varepsilon_{0}>0, \forall \delta>0, \exists x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in I,\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ ，但 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \geqslant \varepsilon_{0}$ ． 依次取 $\displaystyle \delta=\frac{1}{n},(n=1,2, \cdots)$ ，存在 $x_{n}, y_{n} \in I$ ，满足 $\displaystyle \left|x_{n}-y_{n}\right|<\frac{1}{n}$ ，但 $\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right| \geqslant \varepsilon_{0}$ 。 因 $x_{n} \in I, I$ 为有限区间，故 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界，必存在收敛子列 $\left\{x_{n_{n}}\right\}$ 。由 $\left|x_{n}-y_{n}\right| \rightarrow 0,\left\{y_{n}\right\}$ 中相应的子列 $\left\{y_{n_{t}}\right\}$ 也收敛于相同的极限。从而数列 $\left\{a_{n}\right\}: x_{n_{1}}, y_{n_{1}}, \cdots, x_{n_{t}}, y_{n_{t}}, \cdots$ 也收敛。 但数列 $\left\{f\left(a_{n}\right)\right\}: f\left(x_{n_{1}}\right), f\left(y_{n_{1}}\right), \cdots, f\left(x_{n_{1}}\right), f\left(y_{n_{1}}\right), \cdots$ 恒有 $\left|f\left(x_{n_{1}}\right)-f\left(y_{n_{1}}\right)\right| \geqslant \varepsilon_{0}$ 。 这就证明了存在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow x}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$ ，但 $\lim _{n \rightarrow x}\left|f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)\right|$ 不趋于 0 ． （4）先证：$f(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续． $\forall x_{0} \in(a, b)$ ，设 $\left\{x_{n}\right\} \subset(a, b)$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ 。令 $y_{n}=\left\{\begin{array}{l}x_{n}, n=2 k, \\ x_{0}, n=2 k+1,\end{array}\right.$ 显然 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=x_{0}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(y_{n}\right)$存在， $\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(y_{2 k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(y_{2 k+1}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。从而 $\lim _{k \rightarrow x} f\left(x_{2 k}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。因 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 存在，故 $\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{2 k}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。由归结原则， $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$ 。所以 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 连续，从而在 $(a, b)$ 上连续． 再证：$f(a+0)$ 与 $f(b-0)$ 存在． 设 $\left\{x_{n}\right\},\left\{x_{n}^{\prime}\right\}$ 为 $(a, b)$ 内任意两个收敛于 $a$ 的数列。令 $A_{n}=\left\{\begin{array}{l}x_{n}, n=2 k, \\ x_{n}^{\prime}, n=2 k+1,\end{array}\right.$ 显然 $\lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}=a$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(A_{n}\right)$ 存在．从而 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 与 $\lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{n}^{\prime}\right)$ 都存在且相等．由归结原则知 $f(a+0)$ 存在．同理可证 $f(b-0)$ 存在． 由于 $f(a+0)$ 与 $f(b-0)$ 存在，通过延拓 $f(x)$ 可得 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续． （5）由（4）得 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续。由题 $1, f(a+0)$ 与 $f(b-0)$ 存在且不为 $0 . f(a+0)$ 与 $f(b-0)$ 必须同号，否则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上有零点。这与条件 $f(x) \neq 0, x \in(a, b)$ 矛盾。所以 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)>0$. 对 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 进行连续延拓，则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 上连续．从而 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 上有最小值，记为 $m$ 。于是 对 $\forall x \in[a, b]$ 有 $|f(x)| \geqslant m$ ．记 $\displaystyle C=\frac{1}{m}$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{|f(x)|} \leqslant C$ ． （6）$f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续，数列 $\left\{x_{n}\right\} \in I$ 收玫，由（2）得 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 存在． $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，仅有数列 $\left\{x_{n}\right\} \subset I$ 收玫， $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 不一定存在．例如， $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}, x \in(0,1)$ 。对 $\left\{x_{n}\right\}: \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 不存在。