上册 2.2 一致连续 第17题
📝 题目
17．证明：函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续的充分必要条件是：对 $\forall \varepsilon>0, \exists M>0$ ，使得当 $x, y \in I, x \neq y$ 且 $\displaystyle \left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>M$ 时，有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
充分性：对任给 $\varepsilon>0$ ，取 $\displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{M}$ ，对任意 $x, y \in I, x \neq y$ ，当 $|x-y|<\delta$ 时，
若满足 $\displaystyle \left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>M$ ，就有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ ．
若成立 $\displaystyle \left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| \leqslant M$ ，则有 $|f(x)-f(y)| \leqslant M|x-y|0, \exists \delta>0$ ，当 $x, y \in I,|x-y|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ ．
若有 $x, y \in I$ ，满足 $|f(x)-f(y)| \geqslant \varepsilon$ ，必有 $|x-y| \geqslant \delta$ ．
取 $\displaystyle M=\frac{2 \varepsilon}{\delta}$ ，若有 $x, y \in I, x \neq y$ ，满足 $\displaystyle \left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>M$ 时，必有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ 。假若不成立，也就是有 $|f(x)-f(y)| \geqslant \varepsilon$ ，必得矛盾．
事实上，令 $\alpha=|f(x)-f(y)| \geqslant \varepsilon$ ，则存在正整数 $K \geqslant 2$ ，使得 $(K-1) \varepsilon \leqslant \alpha \leqslant K \varepsilon$ ．
设 $\displaystyle \beta=\frac{\alpha}{K-1}$ ，则 $\varepsilon \leqslant \beta<2 \varepsilon, \beta \leqslant \alpha$ ．不妨设 $f(x)M$ 矛盾．
对于 $x>y$ 的情况，可类似讨论。必要性证毕。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目条件和结论
题目要求证明函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续的充要条件是：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，使得当 $x,y\in I, x\neq y$ 且 $\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>M$ 时，有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。
提示：注意条件中的 $M$ 依赖于 $\varepsilon$，且条件只对满足差分商大于 $M$ 的点对施加限制。
步骤 2/6
目标：证明充分性：由条件推出一致连续
对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\frac{\varepsilon}{M}$。对任意 $x,y\in I$，$x\neq y$，当 $|x-y|<\delta$ 时，分两种情况：
1. 若 $\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>M$，则由条件直接得 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。
2. 若 $\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\leq M$，则 $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|
公式：$\delta = \frac{\varepsilon}{M}$
提示：注意 $\delta$ 的选取依赖于 $M$，而 $M$ 由条件给出。
步骤 3/6
目标：证明必要性：由一致连续推出条件
设 $f$ 在 $I$ 上一致连续。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $|x-y|<\delta$ 时，$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。取 $M=\frac{2\varepsilon}{\delta}$。假设存在 $x,y\in I$，$x\neq y$，满足 $\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>M$ 但 $|f(x)-f(y)|\geq\varepsilon$，我们将推出矛盾。
公式：$M = \frac{2\varepsilon}{\delta}$
提示：注意 $M$ 的选取依赖于 $\delta$，而 $\delta$ 由一致连续性得到。
步骤 4/6
目标：构造分点并利用介值定理
不妨设 $f(x)
公式：$\beta = \frac{\alpha}{K-1}$
提示：注意 $K$ 的存在性由 $\alpha\geq\varepsilon$ 保证，且 $\beta<2\varepsilon$。
步骤 5/6
目标：利用一致连续性导出矛盾
由于每个区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上函数值变化至少为 $\varepsilon$，由一致连续性知 $x_i-x_{i-1}\geq\delta$（否则若 $x_i-x_{i-1}<\delta$，则 $|f(x_i)-f(x_{i-1})|<\varepsilon$，矛盾）。因此 $y-x=\sum_{i=1}^K (x_i-x_{i-1})\geq K\delta$。于是
$$
\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| \leq \frac{K\beta}{K\delta} = \frac{\beta}{\delta} < \frac{2\varepsilon}{\delta} = M,
$$
与假设 $\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>M$ 矛盾。故假设不成立，从而当 $\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>M$ 时必有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。
公式：$\frac{\beta}{\delta} < \frac{2\varepsilon}{\delta} = M$
提示：注意 $\beta<2\varepsilon$ 的使用，以及 $K\delta$ 的推导。
步骤 6/6
目标：总结
充分性和必要性均得证，故原命题成立。
提示：注意必要性证明中假设了 $xy$ 的情况可类似讨论。
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