上册 2.2 一致连续 第18题
📝 题目
18．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微。试证：$f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续的充要条件是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致可微，即 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $0<|h|<\delta$ 时，有 $\displaystyle \left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^{\prime}(x)\right|<\varepsilon$ 对一切 $x \in[a, b]$ 成立．
💡 答案解析
解题过程：
必要性：因为 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，所以一致连续．于是 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b],\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，有
$$
\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon .
$$
因此，当 $0<|h|<\delta$ 时，对 $\forall x \in[a, b]$ ，由 Lagrange 中值定理
$\displaystyle \left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^{\prime}(x)\right|=\left|f^{\prime}(\xi)-f^{\prime}(x)\right|<\varepsilon$ ，其中 $\xi$ 介于 $x, x+h$ 之间，$|\xi-x|<|h|<\delta$ ．
充分性：已知 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $0<|h|<\delta$ 时，$\forall x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^{\prime}(x)\right|<\varepsilon$ 。因此， $\forall x_{0} \in[a, b], 0<|h|<\delta$ ，只要 $x_{0}+h \in[a, b]$ ，便有
$$
\left|f^{\prime}\left(x_{0}+h\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right| \leqslant\left|f^{\prime}\left(x_{0}+h\right)-\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\right|+\left|\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}-f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right|<2 \varepsilon .
$$
所以 $f^{\prime}(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续．由 $x_{0} \in[a, b]$ 的任意性，$f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目条件和结论
题目要求证明：$f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续当且仅当 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致可微，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<|h|<\delta$ 时，对一切 $x\in[a,b]$ 有 $\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'(x)\right|<\varepsilon$。
提示：注意一致可微的定义中 $\delta$ 与 $x$ 无关，这是关键。
步骤 2/7
目标：必要性：由 $f'(x)$ 连续推出一致可微
假设 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。由于闭区间上的连续函数一致连续，故对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $x',x''\in[a,b]$ 且 $|x'-x''|<\delta$ 时，有 $|f'(x')-f'(x'')|<\varepsilon$。
公式：一致连续性：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x',x''\in[a,b],|x'-x''|<\delta\Rightarrow|f'(x')-f'(x'')|<\varepsilon$
提示：注意一致连续与连续的区别：$\delta$ 不依赖于 $x$。
步骤 3/7
目标：必要性：应用拉格朗日中值定理
对任意 $x\in[a,b]$ 和 $0<|h|<\delta$，由拉格朗日中值定理，存在介于 $x$ 与 $x+h$ 之间的 $\xi$，使得 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(\xi)$。由于 $|\xi-x|<|h|<\delta$，故 $|f'(\xi)-f'(x)|<\varepsilon$。因此 $\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'(x)\right|<\varepsilon$。
公式：拉格朗日中值定理：$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(\xi)$，$\xi$ 介于 $x$ 与 $x+h$ 之间
提示：注意 $\xi$ 依赖于 $x$ 和 $h$，但 $|\xi-x|<|h|$ 保证了 $\xi$ 与 $x$ 足够近。
步骤 4/7
目标：充分性：由一致可微推出 $f'(x)$ 连续
假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致可微。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<|h|<\delta$ 时，对一切 $x\in[a,b]$ 有 $\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'(x)\right|<\varepsilon$。
公式：一致可微的定义
提示：注意 $\delta$ 与 $x$ 无关，这是后续证明的关键。
步骤 5/7
目标：充分性：估计 $f'(x_0+h)-f'(x_0)$
取任意 $x_0\in[a,b]$，对充分小的 $h$（使得 $x_0+h\in[a,b]$ 且 $0<|h|<\delta$），利用三角不等式：
$|f'(x_0+h)-f'(x_0)| \leq \left|f'(x_0+h)-\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\right| + \left|\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'(x_0)\right|$。
公式：三角不等式：$|a-b|\leq|a-c|+|c-b|$
提示：注意 $x_0+h$ 可能超出区间边界，但 $h$ 足够小时可保证在区间内。
步骤 6/7
目标：充分性：利用一致可微条件放缩
由一致可微条件，对 $x_0$ 和 $x_0+h$ 分别应用：
$\left|\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'(x_0)\right|<\varepsilon$，
$\left|f'(x_0+h)-\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\right| = \left|\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'(x_0+h)\right| < \varepsilon$（注意这里将 $x_0+h$ 视为 $x$，$h$ 视为 $-h$，但 $|h|$ 相同，故条件仍适用）。
因此 $|f'(x_0+h)-f'(x_0)|<2\varepsilon$。
公式：一致可微定义：$\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'(x)\right|<\varepsilon$ 对一切 $x$ 成立
提示：注意第二个不等式需要验证：将 $x$ 取为 $x_0+h$，$h$ 取为 $-h$，则 $|h|$ 不变，条件仍成立。
步骤 7/7
目标：充分性：得到 $f'(x)$ 连续
由 $|f'(x_0+h)-f'(x_0)|<2\varepsilon$ 对任意 $0<|h|<\delta$ 成立，可知 $\lim_{h\to0}f'(x_0+h)=f'(x_0)$，即 $f'(x)$ 在 $x_0$ 处连续。由 $x_0$ 的任意性，$f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。
公式：函数连续的定义：$\lim_{h\to0}f'(x_0+h)=f'(x_0)$
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，$2\varepsilon$ 仍可任意小。
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