上册 2.2 一致连续 第19题

解题过程： （1）当 $\lambda=1$ 时，用定义易证 $f(x)=x$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续． 当 $0<\lambda<1$ 时，$f(x)=x^{\lambda}$ 在 $[0,2]$ 上连续，从而一致连续．$f(x)=x^{\lambda}$ 在 $[1,+\infty)$ 上导函数有界，从而一致连续．于是 $f(x)=x^{\lambda}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致连续． 当 $\lambda>1$ 时，取 $\displaystyle x^{\prime}=n, x^{\prime \prime}=n+\frac{1}{n^{\lambda-1}}$ ，则 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|>1$ ，故 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续． （2）在 $[1,+\infty)$ 上，$\displaystyle f^{\prime}(x)=(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} \leqslant \frac{1}{2}$ ，即 $f(x)=\sqrt{x}$ 的导函数有界，所以 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续．又函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,2]$ 上连续，从而函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续． （3）由于 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $(0,1)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=1$ ，所以 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $(0,1)$ 上一致连续． （4）因为 $f(x)=x^{2}$ 在 $[a, b]$ 上连续，由 Canter 定理，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续． 下证：$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 或 $(-\infty,+\infty)$ 非一致连续． 记 $I=(0,+\infty)$ 或 $(-\infty,+\infty)$ ．对 $\varepsilon_{0}=1, \forall \delta>0$ ，取 $\displaystyle x_{1}=\frac{2}{\delta}, x_{2}=\frac{2}{\delta}+\frac{\delta}{2}$ ，有 $x_{1}, x_{2} \in I$ 且 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{\delta}{2}<\delta$ ． 但 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)>\frac{4}{\delta} \cdot \frac{\delta}{2}=2>\varepsilon_{0}$ 。所以 $f(x)$ 在 $I$ 上非一致连续。 （5）由于 $f(x)=x^{2}+2 x+1$ 在 $[0, a]$ 上连续，故 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上一致连续． 又 $2 x+1$ 在 $[0,+\infty)$ 一致连续，而 $x^{2}$ 在 $[0,+\infty)$ 非一致连续，故 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上非一致连续。