上册 2.2 一致连续 第20题
📝 题目
20．证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ ，证明：（1）$f(x)$ 在 $(a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续；（2）在 $(0,1)$ 或 $(0,+\infty)$ 上非一致连续；（3）在 $[a, 1](0
💡 答案解析
解题过程：
（1）先证：$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续。
对 $\forall \varepsilon>0$ ，取 $\delta=a^{2} \varepsilon$ ，当 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，
$$
\left|\frac{1}{x^{\prime}}-\frac{1}{x^{\prime \prime}}\right|=\frac{\left|x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right|}{x^{\prime} x^{\prime \prime}}<\frac{\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|}{a^{2}} \leqslant \frac{\delta}{a^{2}}=\varepsilon .
$$
由一致连续的定义，$\displaystyle \frac{1}{x}$ 在 $(a,+\infty)$ 上一致连续。
下证：$f(x)$ 在 $(0,1)$ 或 $(0,+\infty)$ 上非一致连续．
记 $I$ 为 $(0,1)$ 或 $(0,+\infty)$ 。取 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{n}, y_{n}=\frac{1}{2 n}, n=1,2, \cdots$ 尽管 $x_{n}, y_{n} \in I$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}-y_{n}\right)=0$ ，但
$$
\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right|=\left|\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{y_{n}}\right|=n \rightarrow \infty(n \rightarrow \infty)
$$
故函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 或 $(0,+\infty)$ 卜非一致连续．
最后，由于 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $[a, 1](0
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明f(x)=1/x在(a,+∞)上一致连续
对任意ε>0，取δ=a²ε。当|x'-x''|<δ时，有
$$\left|\frac{1}{x'}-\frac{1}{x''}\right|=\frac{|x''-x'|}{x'x''}<\frac{|x'-x''|}{a^2}\leq\frac{\delta}{a^2}=\varepsilon.$$
因此f(x)在(a,+∞)上一致连续。
公式：|1/x'-1/x''| = |x''-x'|/(x'x'')
提示：注意δ的选取依赖于a，且x',x''>a>0，确保分母下界为a²。
步骤 2/8
目标：证明f(x)=1/x在(0,1)或(0,+∞)上非一致连续
取序列x_n=1/n, y_n=1/(2n)，则x_n,y_n∈(0,1)⊂(0,+∞)，且|x_n-y_n|=1/(2n)→0，但
$$\left|f(x_n)-f(y_n)\right|=\left|\frac{1}{1/n}-\frac{1}{1/(2n)}\right|=|n-2n|=n\to\infty.$$
因此不存在公共的δ，故非一致连续。
提示：选取的序列必须满足两点：距离趋于0但函数值差趋于无穷大。
步骤 3/8
目标：证明f(x)=1/x在[a,1]上一致连续
由于f(x)=1/x在闭区间[a,1]上连续，根据一致连续性定理（Cantor定理），连续函数在闭区间上一致连续。因此结论成立。
提示：注意区间是闭区间，且a>0，保证函数连续。
步骤 4/8
目标：证明f(x)=1/x²在[δ,1]上一致连续
方法一：f(x)在[δ,1]上连续，故一致连续。
方法二：f'(x)=-2/x³，在[δ,1]上|f'(x)|≤2/δ³有界，由Lipschitz条件知一致连续。
方法三：直接估计
$$\left|\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}\right|=\frac{x_1+x_2}{x_1^2x_2^2}|x_1-x_2|\leq\frac{2}{\delta^3}|x_1-x_2|,$$
取δ'=εδ³/2即可。
公式：|1/x₁²-1/x₂²| = (x₁+x₂)/(x₁²x₂²)|x₁-x₂|
提示：注意分母最小值δ²，分子最大值2，从而得到Lipschitz常数。
步骤 5/8
目标：证明f(x)=1/x²在(0,1)上非一致连续
取x_n=2/n, y_n=1/n，则|x_n-y_n|=1/n→0，但
$$\left|f(x_n)-f(y_n)\right|=\left|\frac{1}{(2/n)^2}-\frac{1}{(1/n)^2}\right|=\left|\frac{n^2}{4}-n^2\right|=\frac{3}{4}n^2\to\infty.$$
故非一致连续。
提示：注意函数值差趋于无穷，因此不存在一致的δ。
步骤 6/8
目标：证明f(x)=1/x²在(0,+∞)上连续但非一致连续
f(x)在(0,+∞)上连续，但由上一题知在(0,1)上非一致连续，因此在更大的区间(0,+∞)上自然非一致连续。
提示：非一致连续在子区间上成立则在整个区间上也成立。
步骤 7/8
目标：证明f(x)=1/√x在(0,1)上非一致连续
取x_n=1/n², y_n=1/(4n²)，则|x_n-y_n|=3/(4n²)→0，但
$$\left|f(x_n)-f(y_n)\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{1/n^2}}-\frac{1}{\sqrt{1/(4n^2)}}\right|=|n-2n|=n\to\infty.$$
故非一致连续。
提示：选取序列时注意使函数值差发散。
步骤 8/8
目标：证明f(x)=1/√x在(c,1)上一致连续
f(x)在闭区间[c,1]上连续，故一致连续。或者利用导数：f'(x)=-1/(2x^{3/2})，在[c,1]上|f'(x)|≤1/(2c^{3/2})有界，从而一致连续。
提示：注意c>0，保证区间不包含0。
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