上册 2.2 一致连续 第21题
📝 题目
21．设 $p \geqslant 1$ ，试证：（1）函数 $f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在 $[\delta, 1](0<\delta<1)$ 上一致连续；（2）函数 $f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在开区间 $(0,1)$ 上非一致连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在 $[\delta, 1]$ 上连续，所以 $f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在 $[\delta, 1]$ 上一致连续．
取 $\displaystyle x_{n}=\sqrt[p]{\frac{1}{2 n \pi+\frac{\pi}{2}}}, y_{n}=\sqrt[p]{\frac{1}{2 n \pi}}$ ，得 $\lim _{n \rightarrow x} f\left(x_{n}\right)=1, \lim _{n \rightarrow x} f\left(y_{n}\right)=0$ 。故 $\lim _{x \rightarrow 0^{\cdot}} f(x)$ 不存在，所以函数 $f(x)=\sin \left(x^{-p}\right)$ 在开区间 $(0,1)$ 上非一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明在闭区间上一致连续
由于函数 $f(x)=\sin(x^{-p})$ 在闭区间 $[\delta, 1]$ 上连续（$0<\delta<1$），根据一致连续性定理（康托尔定理），连续函数在闭区间上一致连续。因此 $f(x)$ 在 $[\delta, 1]$ 上一致连续。
提示：注意闭区间上连续函数一定一致连续，但开区间不一定。
步骤 2/5
目标：构造两个点列
取 $x_n = \sqrt[p]{\frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}}$，$y_n = \sqrt[p]{\frac{1}{2n\pi}}$，其中 $n$ 为正整数。当 $n \to \infty$ 时，$x_n \to 0^+$，$y_n \to 0^+$。
提示：构造点列时需确保 $x_n, y_n \in (0,1)$，且 $x_n \neq y_n$。
步骤 3/5
目标：计算函数值
计算 $f(x_n) = \sin\left( (x_n)^{-p} \right) = \sin\left( 2n\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$；$f(y_n) = \sin\left( (y_n)^{-p} \right) = \sin(2n\pi) = 0$。
公式：$\sin(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 1$，$\sin(2n\pi) = 0$
提示：注意 $x^{-p}$ 的周期性，利用正弦函数的周期性质。
步骤 4/5
目标：分析极限行为
由于 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = 1$，$\lim_{n \to \infty} f(y_n) = 0$，且 $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} y_n = 0$，因此 $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ 不存在。
提示：极限不存在说明函数在0附近振荡剧烈。
步骤 5/5
目标：证明非一致连续
取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$，则对任意 $\delta > 0$，存在足够大的 $n$ 使得 $|x_n - y_n| < \delta$（因为 $x_n, y_n \to 0$），但 $|f(x_n) - f(y_n)| = 1 > \varepsilon_0$。因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上非一致连续。
提示：非一致连续的证明关键是找到两个点列距离趋于0但函数值差大于某正数。
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