上册 2.2 一致连续 第22题
📝 题目
22．设 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ ，证明：
（1）在 $(0,1)$ 上非一致连续．
（2）在 $(a, b)(00)$ ，在区间 $(0,+\infty)$ 上非一致连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1 ：由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sin \frac{1}{x}$ 不存在，由题 1 知，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上非一致连续．
方法 2：取 $\displaystyle \varepsilon_{0}=\frac{1}{2}$ ，在 $(0,1)$ 内取 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{n \pi}, x_{n}^{\prime}=\frac{2}{(n+1) \pi}$ 。对 $\forall \delta>0$ ，只要 $n$ 充分大总有 $\displaystyle \left|x_{n}-x_{n}^{\prime}\right|=\frac{2}{n(n+1) \pi}<\delta$ ，但 $\displaystyle \left|f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n}^{\prime}\right)\right|=\left|\sin \frac{n \pi}{2}-\sin \frac{(n+1) \pi}{2}\right|=1>\varepsilon_{0}$ 。所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上非一致连续。
（2）$\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in(a, b)$ 有
$$
\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\left|\sin \frac{1}{x^{\prime}}-\sin \frac{1}{x^{\prime \prime}}\right| \leqslant\left|\frac{1}{x^{\prime}}-\frac{1}{x^{\prime \prime}}\right| \leqslant \frac{1}{a^{2}}\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|
$$
$\forall \varepsilon>0$ ，取 $\delta=a^{2} \varepsilon>0$ ，对 $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in(a, b)$ ，当 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，有 $\displaystyle \left|\sin \frac{1}{x^{\prime}}-\sin \frac{1}{x^{\prime \prime}}\right|<\varepsilon$ 。故 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内一致连续．
（3）$\forall \varepsilon>0$ ，取 $\delta=a^{2} \varepsilon$ ，当 $x_{1}, x_{2} \in[a,+\infty)$ ，且 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时，
$$
\left|\sin \frac{1}{x_{1}}-\sin \frac{1}{x_{2}}\right|<\left|\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}\right|=\frac{1}{\left|x_{1} x_{2}\right|}\left|x_{1}-x_{2}\right| \leqslant \frac{1}{a^{2}}\left|x_{1}-x_{2}\right|<\varepsilon
$$
所以 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 十一致连续．
取 $\displaystyle \varepsilon_{0}=\frac{1}{2}, \forall \delta>0$ ，取 $\displaystyle n>\frac{1}{4 \pi \delta}, x_{1}=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2 n \pi}, x_{2}=\frac{1}{\pi+4 n \pi}$ ，尽管 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{1}{\pi+4 n \pi}<\frac{1}{4 n \pi}<\delta$ ，但 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\left|\sin \frac{1}{x_{1}}-\sin \frac{1}{x_{2}}\right|=1>\varepsilon_{0}$ ．从而 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明在(0,1)上非一致连续（方法1）
由于 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \sin\frac{1}{x}$ 不存在，根据一致连续与极限存在的关系，若函数在区间上一致连续，则区间端点极限存在。这里左端点极限不存在，故非一致连续。
提示：注意：一致连续要求函数在区间端点有极限（若区间为开区间，则考虑单侧极限）。
步骤 2/5
目标：证明在(0,1)上非一致连续（方法2）
取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$，构造点列 $x_n = \frac{1}{n\pi}$，$x_n' = \frac{2}{(n+1)\pi}$。则 $|x_n - x_n'| = \frac{2}{n(n+1)\pi}$，对任意 $\delta > 0$，当 $n$ 充分大时 $|x_n - x_n'| < \delta$，但 $|f(x_n) - f(x_n')| = |\sin\frac{n\pi}{2} - \sin\frac{(n+1)\pi}{2}| = 1 > \varepsilon_0$。因此非一致连续。
公式：$|\sin\frac{1}{x_n} - \sin\frac{1}{x_n'}| = 1$
提示：构造点列时，要确保两点距离任意小但函数值差固定为正数。
步骤 3/5
目标：证明在(a,b)内一致连续
对任意 $x', x'' \in (a,b)$，由拉格朗日中值定理或不等式：$|\sin\frac{1}{x'} - \sin\frac{1}{x''}| \leq |\frac{1}{x'} - \frac{1}{x''}| = \frac{|x'-x''|}{|x'x''|} \leq \frac{1}{a^2}|x'-x''|$。对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = a^2\varepsilon$，则当 $|x'-x''| < \delta$ 时，有 $|f(x')-f(x'')| < \varepsilon$。
公式：$|\sin u - \sin v| \leq |u-v|$
提示：注意区间下界 $a>0$，保证 $\frac{1}{a^2}$ 有限。
步骤 4/5
目标：证明在[a,+∞)上一致连续
对任意 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$，有 $|\sin\frac{1}{x_1} - \sin\frac{1}{x_2}| \leq |\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}| = \frac{|x_1-x_2|}{|x_1x_2|} \leq \frac{1}{a^2}|x_1-x_2|$。对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = a^2\varepsilon$，则当 $|x_1-x_2| < \delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$。
公式：$|\sin\frac{1}{x_1} - \sin\frac{1}{x_2}| \leq \frac{1}{a^2}|x_1-x_2|$
提示：注意 $x_1x_2 \geq a^2$，因此 $\frac{1}{|x_1x_2|} \leq \frac{1}{a^2}$。
步骤 5/5
目标：证明在(0,+∞)上非一致连续
取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$。对任意 $\delta > 0$，取 $n$ 充分大使得 $\frac{1}{4n\pi} < \delta$，令 $x_1 = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}$，$x_2 = \frac{1}{\pi + 4n\pi}$。则 $|x_1 - x_2| = \frac{1}{\pi + 4n\pi} < \frac{1}{4n\pi} < \delta$，但 $|f(x_1) - f(x_2)| = |\sin(\frac{\pi}{2}+2n\pi) - \sin(\pi+4n\pi)| = |1 - 0| = 1 > \varepsilon_0$。因此非一致连续。
公式：$|\sin(\frac{\pi}{2}+2n\pi) - \sin(\pi+4n\pi)| = 1$
提示：构造点列时，要确保两点都趋近于0，且函数值差为1。
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