上册 2.2 一致连续 第23题
📝 题目
23．证明：$\displaystyle f(x)=\cos \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续，但在 $(a,+\infty)(a>0)$ 上一致连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$\forall \varepsilon>0$ ，取 $\delta=a^{2} \varepsilon$ ，当 $x_{1}, x_{2} \in[a,+\infty)$ ，且 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时，
$$
\left|\cos \frac{1}{x_{1}}-\cos \frac{1}{x_{2}}\right|<\left|\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}\right|=\frac{1}{\left|x_{1} x_{2}\right|}\left|x_{1}-x_{2}\right| \leqslant \frac{1}{a^{2}}\left|x_{1}-x_{2}\right|<\varepsilon,
$$
所以 $\displaystyle f(x)=\cos \frac{1}{x}$ 在 $(a,+\infty)$ 上一致连续
取 $\displaystyle \varepsilon_{0}=\frac{1}{2}, \forall \delta>0$ ，取 $\displaystyle n>\frac{1}{4 \pi \delta}, x_{1}=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2 n \pi}, x_{2}=\frac{1}{\pi+4 n \pi}$ ．尽管 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{1}{\pi+4 n \pi}<\frac{1}{4 n \pi}<\delta$ ，但 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right) x\right|=\left|\cos \frac{1}{x_{1}}-\cos \frac{1}{x_{2}}\right|=1>\varepsilon_{0}$ ．从而 $\displaystyle f(x)=\cos \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明在(a,+∞)上一致连续：利用导数放缩
对于任意 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间，使得 $\left|\cos\frac{1}{x_1}-\cos\frac{1}{x_2}\right| = \left|\sin\frac{1}{\xi}\right| \cdot \left|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right| \leq \left|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right|$。
公式：$|\cos u - \cos v| \leq |u-v|$
提示：注意绝对值放缩时，$|\sin(1/\xi)| \leq 1$，因此可以直接放缩为差的绝对值。
步骤 2/7
目标：进一步放缩差
计算 $\left|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right| = \frac{|x_1-x_2|}{x_1 x_2} \leq \frac{|x_1-x_2|}{a^2}$，因为 $x_1, x_2 \geq a$。
公式：$\frac{1}{x_1 x_2} \leq \frac{1}{a^2}$
提示：注意分母 $x_1 x_2$ 的最小值为 $a^2$，因此不等式方向正确。
步骤 3/7
目标：选择δ并完成一致连续证明
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = a^2 \varepsilon$。当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $\left|\cos\frac{1}{x_1}-\cos\frac{1}{x_2}\right| \leq \frac{|x_1-x_2|}{a^2} < \frac{\delta}{a^2} = \varepsilon$。因此 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续，从而在 $(a, +\infty)$ 上一致连续。
提示：注意一致连续的定义：对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x1-x2|<δ时，|f(x1)-f(x2)|<ε。这里δ依赖于a和ε，但不依赖于x1,x2的具体位置。
步骤 4/7
目标：证明在(0,+∞)上非一致连续：构造反例
取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$。对任意 $\delta > 0$，取正整数 $n$ 满足 $n > \frac{1}{4\pi\delta}$。令 $x_1 = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}$，$x_2 = \frac{1}{\pi + 4n\pi}$。
提示：构造的关键是使得 $\cos(1/x_1)=0$，$\cos(1/x_2)=1$，从而差为1。
步骤 5/7
目标：验证两点距离小于δ
计算 $|x_1 - x_2| = \left|\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi} - \frac{1}{\pi+4n\pi}\right| = \frac{\frac{\pi}{2}}{(\frac{\pi}{2}+2n\pi)(\pi+4n\pi)} < \frac{\frac{\pi}{2}}{(2n\pi)(4n\pi)} = \frac{1}{16n\pi} < \frac{1}{4n\pi} < \delta$。
公式：$|x_1-x_2| < \frac{1}{4n\pi}$
提示：注意分母放缩时，去掉较小的正项，分母变小，分数变大，但这里需要上界，所以用分母的最小值放缩。
步骤 6/7
目标：验证函数值差大于ε0
计算 $f(x_1) = \cos\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right) = 0$，$f(x_2) = \cos(\pi+4n\pi) = -1$，所以 $|f(x_1)-f(x_2)| = 1 > \frac{1}{2} = \varepsilon_0$。
提示：注意余弦函数的周期性：$\cos(\pi/2 + 2n\pi)=0$，$\cos(\pi+4n\pi)=-1$。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，存在 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$，对任意 $\delta > 0$，都能找到两点 $x_1, x_2$ 满足 $|x_1-x_2| < \delta$ 但 $|f(x_1)-f(x_2)| \geq \varepsilon_0$，所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续。
提示：非一致连续的否定形式：存在ε0>0，对任意δ>0，存在两点满足距离小于δ但函数值差≥ε0。
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