上册 2.2 一致连续 第24题
📝 题目
24．设函数 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{\pi}{x}, x \in(0,1)$ ．证明：$f(x)$ 连续。问 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 是否一致连续？（请说明理由）．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）用定义易证函数 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{\pi}{x}$ 在 $(0,1)$ 上连续．
（2）由于 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 不存在，所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上非一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明连续性：定义法
对任意 $x_0 \in (0,1)$，由于 $\sin$ 函数连续，$\frac{\pi}{x}$ 在 $x_0$ 处连续，复合函数 $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ 在 $x_0$ 处连续。更严格地，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时，$|\frac{\pi}{x}-\frac{\pi}{x_0}|<\varepsilon$，从而 $|\sin\frac{\pi}{x}-\sin\frac{\pi}{x_0}|\leq |\frac{\pi}{x}-\frac{\pi}{x_0}|<\varepsilon$。因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上每点连续。
公式：$|\sin a - \sin b| \leq |a-b|$
提示：注意 $\frac{\pi}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义，但区间是 $(0,1)$，所以只需考虑 $x_0>0$。
步骤 2/5
目标：分析一致连续性：反例构造
考虑两个点列 $x_n=\frac{1}{2n}$ 和 $y_n=\frac{1}{2n+1}$，当 $n\to\infty$ 时，$x_n\to0^+$，$y_n\to0^+$，且 $|x_n-y_n|=\frac{1}{2n(2n+1)}\to0$。但 $f(x_n)=\sin(2n\pi)=0$，$f(y_n)=\sin((2n+1)\pi)=0$，实际上 $f(x_n)-f(y_n)=0$，这不能直接说明不一致连续。需改用其他点列。
提示：注意 $\sin$ 在 $0$ 附近振荡，需选取使函数值差不为0的点列。
步骤 3/5
目标：正确构造反例
取 $x_n=\frac{1}{2n}$，$y_n=\frac{1}{2n+\frac{1}{2}}$，则 $|x_n-y_n|=\frac{1}{2n(2n+\frac{1}{2})}\to0$。计算 $f(x_n)=\sin(2n\pi)=0$，$f(y_n)=\sin\left((2n+\frac{1}{2})\pi\right)=\sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1$，所以 $|f(x_n)-f(y_n)|=1$。因此对 $\varepsilon_0=\frac{1}{2}$，无论 $\delta>0$ 多小，总存在 $n$ 充分大使得 $|x_n-y_n|<\delta$ 但 $|f(x_n)-f(y_n)|=1>\varepsilon_0$，故 $f$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续。
公式：$\sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1$
提示：注意点列需满足 $x_n,y_n\in(0,1)$ 且 $|x_n-y_n|\to0$ 但 $|f(x_n)-f(y_n)|$ 不趋于0。
步骤 4/5
目标：利用极限不存在说明
另一种方法：由于 $\lim_{x\to0^+}\sin\frac{\pi}{x}$ 不存在（振荡），根据一致连续函数的性质：若 $f$ 在 $(0,1)$ 上一致连续，则 $f$ 在 $0$ 处有极限（可连续延拓到闭区间）。但这里极限不存在，故 $f$ 不一致连续。
提示：注意区间是开区间，一致连续要求函数在端点处有极限。
步骤 5/5
目标：总结
因此，$f(x)=\sin\frac{\pi}{x}$ 在 $(0,1)$ 上连续，但不一致连续。
提示：区分连续与一致连续：连续是局部性质，一致连续是整体性质。
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