上册 2.2 一致连续 第25题
📝 题目
25．证明：（1）$f(x)=\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续；
（2）$g(x)=\sin x^{2}$ 在 $[0, A]$ 上一致连续，但在 $[0,+\infty)$ 或 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致连续；
（3）$h(x)=\cos x^{2}$ 在有限区间 $[0, b]$ 上一致连续，在 $[0,+\infty)$ 上非一致连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $\left|\sin x^{\prime}-\sin x^{\prime \prime}\right| \leqslant\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|$ ．
对 $\forall \varepsilon>0$ ，取 $\delta=\varepsilon$ ，对 $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in(-\infty,+\infty)$ ，当 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，有 $\left|\sin x^{\prime}-\sin x^{\prime \prime}\right|<\varepsilon$ 。故 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内一致连续．
（2）由于 $g(x)=\sin x^{2}$ 在 $[0, A]$ 上连续，所以 $g(x)=\sin x^{2}$ 在 $[0, A]$ 上一致连续．
$g(x)=\sin \left(x^{2}\right)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致连续。事实上，取 $\displaystyle x_{n}=\sqrt{2 n \pi}, y_{n}=\sqrt{2 n \pi+\frac{\pi}{2}}$ 。尽管
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_{n}-y_{n}\right|=\frac{\pi}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{2 n \pi}+\sqrt{2 n \pi+\frac{\pi}{2}}}=0
$$
但 $\left|g\left(x_{n}\right)-g\left(y_{n}\right)\right|=1,(n=1,2, \cdots)$ ．故 $g(x)=\sin \left(x^{2}\right)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致连续．
（3）与（1），（2）证明方法类似．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明sin x在R上一致连续
利用三角恒等式和不等式：$|\sin x' - \sin x''| = 2|\cos\frac{x'+x''}{2}\sin\frac{x'-x''}{2}| \leq 2|\sin\frac{x'-x''}{2}| \leq |x'-x''|$。对任意$\varepsilon>0$，取$\delta=\varepsilon$，则当$|x'-x''|<\delta$时，有$|\sin x' - \sin x''| < \varepsilon$。因此$f(x)=\sin x$在$(-\infty,+\infty)$上一致连续。
公式：$|\sin x' - \sin x''| \leq |x'-x''|$
提示：注意不等式$|\sin t| \leq |t|$的使用，以及$\delta$的选取与$\varepsilon$的关系。
步骤 2/5
目标：证明sin(x^2)在[0,A]上一致连续
由于$g(x)=\sin x^2$在闭区间$[0,A]$上连续，根据一致连续性定理（康托尔定理），连续函数在闭区间上一致连续，故$g(x)$在$[0,A]$上一致连续。
提示：闭区间上连续函数一定一致连续，这是常用结论。
步骤 3/5
目标：证明sin(x^2)在[0,+∞)上非一致连续
取两个点列：$x_n=\sqrt{2n\pi}$，$y_n=\sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$。计算差：$|x_n-y_n| = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{2n\pi}+\sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}}} \to 0$（当$n\to\infty$）。但$|g(x_n)-g(y_n)| = |\sin(2n\pi)-\sin(2n\pi+\frac{\pi}{2})| = |0-1| = 1$。因此对$\varepsilon=1$，不存在公共的$\delta>0$使得当$|x-y|<\delta$时$|g(x)-g(y)|<1$，故非一致连续。
公式：$|x_n-y_n| = \frac{\pi/2}{\sqrt{2n\pi}+\sqrt{2n\pi+\pi/2}}$
提示：构造点列时，要保证两点距离趋于0但函数值差固定为正数。注意$x_n,y_n$的选取要使得$\sin$值分别为0和1。
步骤 4/5
目标：证明cos(x^2)在[0,b]上一致连续
由于$h(x)=\cos x^2$在闭区间$[0,b]$上连续，根据一致连续性定理，它在$[0,b]$上一致连续。
提示：与(2)中第一部分类似，直接应用闭区间上连续函数一致连续。
步骤 5/5
目标：证明cos(x^2)在[0,+∞)上非一致连续
取点列：$x_n=\sqrt{2n\pi}$，$y_n=\sqrt{2n\pi+\pi}$。则$|x_n-y_n| = \frac{\pi}{\sqrt{2n\pi}+\sqrt{2n\pi+\pi}} \to 0$，但$|h(x_n)-h(y_n)| = |\cos(2n\pi)-\cos(2n\pi+\pi)| = |1-(-1)| = 2$。因此对$\varepsilon=1$，不存在公共$\delta$，故非一致连续。
公式：$|x_n-y_n| = \frac{\pi}{\sqrt{2n\pi}+\sqrt{2n\pi+\pi}}$
提示：注意选取点列使得$\cos$值分别为1和-1，差值固定为2。
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