上册 2.2 一致连续 第26题
📝 题目
26．讨论 $\displaystyle f(x)=x \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上的一致连续性．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \sin \frac{1}{x}=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} x \sin \frac{1}{x}=1
$$
所以 $\displaystyle f(x)=x \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数在0+处的极限
计算 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x \sin \frac{1}{x}$。由于 $|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，所以 $|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x|$，由夹逼定理得极限为0。
公式：$\lim_{x \to 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0$
提示：注意 $\sin \frac{1}{x}$ 在0附近振荡，但乘以无穷小x后极限为0。
步骤 2/5
目标：分析函数在无穷远处的极限
计算 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x \sin \frac{1}{x}$。令 $t = \frac{1}{x}$，则 $x \to +\infty$ 时 $t \to 0^+$，原极限化为 $\lim_{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t} = 1$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} x \sin \frac{1}{x} = 1$
提示：注意变量代换后极限类型为 $\frac{\sin t}{t}$ 型，极限为1。
步骤 3/5
目标：判断函数在(0,+∞)上的连续性
函数 $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0, +\infty)$ 上由初等函数复合而成，且分母不为0，故在 $(0, +\infty)$ 上连续。
提示：注意 $x=0$ 不在定义域内，但可补充定义 $f(0)=0$ 使其在0处连续。
步骤 4/5
目标：应用一致连续性定理
由于 $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ 和 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 都存在（有限），根据一致连续性定理：若函数在区间上连续，且区间端点（包括无穷远）的极限存在，则函数在该区间上一致连续。因此 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上一致连续。
公式：若 $f$ 在 $(a,b)$ 上连续，且 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ 和 $\lim_{x \to b^-} f(x)$ 存在有限，则 $f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。
提示：注意定理要求区间端点极限存在且有限，这里0+和+∞的极限均存在。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，$f(x)=x \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0, +\infty)$ 上一致连续。
提示：注意一致连续与连续的区别，该定理是判断一致连续的常用方法。
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