上册 2.2 一致连续 第27题
📝 题目
27．用一致连续函数的定义证明：函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $(a,+\infty)$ 上一致连续，而在区间 $(0, a)$ 上非一致连续 $(a>0)$ 。北京交大 2009）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$\forall x_{1}, x_{2} \in(a,+\infty)$ ，有
$$
\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\left|-\frac{1}{\xi^{2}} \sin \frac{1}{\xi}-\frac{1}{\xi^{3}} \cos \frac{1}{\xi}\right|\left|x_{1}-x_{2}\right| \leqslant\left(\frac{1}{\xi^{2}}+\frac{1}{\xi^{3}}\right)\left|x_{1}-x_{2}\right| \leqslant\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{a^{3}}\right)\left|x_{1}-x_{2}\right|
$$
对 $\forall \varepsilon>0$ ，取 $\displaystyle \delta=\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{a^{3}}\right)^{-1} \varepsilon$ 。对 $\forall x_{1}, x_{2} \in(a,+\infty)$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时，有 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon$ 。故 $f(x)$在 $(a,+\infty)$ 内一致连续．
取 $\displaystyle \varepsilon_{0}=\frac{1}{2}, \forall \delta>0$ ，取 $\displaystyle n>\frac{1}{4 \pi \delta}, x_{1}=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2 n \pi}, x_{2}=\frac{1}{\pi+4 n \pi}$ ，尽管 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{1}{\pi+4 n \pi}<\frac{1}{4 n \pi}<\delta$ ，但 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\left|\frac{\pi}{2}+2 n \pi\right|>\varepsilon_{0}$ ．从而 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $(0, a)$ 上非一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明在(a,+∞)上一致连续：利用导数估计Lipschitz常数
对于 $x_1, x_2 \in (a, +\infty)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间，使得
$$
|f(x_1)-f(x_2)| = |f'(\xi)| \cdot |x_1-x_2|.
$$
计算导数：
$$
f'(x) = -\frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}\cos\frac{1}{x}.
$$
因此
$$
|f'(\xi)| \leq \frac{1}{\xi^2} + \frac{1}{\xi^3} \leq \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3}.
$$
从而
$$
|f(x_1)-f(x_2)| \leq \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}\right)|x_1-x_2|.
$$
公式：拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
提示：注意导数绝对值放缩时，$\xi$ 在 $(a,+\infty)$ 内，因此 $\frac{1}{\xi} \leq \frac{1}{a}$，从而 $\frac{1}{\xi^2} \leq \frac{1}{a^2}$，$\frac{1}{\xi^3} \leq \frac{1}{a^3}$。
步骤 2/5
目标：取δ完成一致连续证明
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}\right)^{-1} \varepsilon$。则当 $|x_1-x_2| < \delta$ 时，有
$$
|f(x_1)-f(x_2)| \leq \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}\right)|x_1-x_2| < \varepsilon.
$$
因此 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上一致连续。
提示：δ的选取必须与ε和a有关，注意δ>0。
步骤 3/5
目标：证明在(0,a)上非一致连续：构造反例
取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$。对任意 $\delta > 0$，取正整数 $n$ 满足 $n > \frac{1}{4\pi\delta}$，并令
$$
x_1 = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}, \quad x_2 = \frac{1}{\pi+4n\pi}.
$$
则 $x_1, x_2 \in (0, a)$（当 $n$ 充分大时）。
提示：注意 $x_1, x_2$ 要落在 $(0,a)$ 内，需要 $n$ 足够大使得 $x_1, x_2 < a$。
步骤 4/5
目标：验证两点距离小于δ
计算 $|x_1 - x_2|$：
$$
|x_1 - x_2| = \left|\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi} - \frac{1}{\pi+4n\pi}\right| = \frac{1}{\pi+4n\pi} < \frac{1}{4n\pi} < \delta.
$$
因此 $|x_1 - x_2| < \delta$。
提示：注意分母有理化，利用 $\frac{1}{\pi+4n\pi} < \frac{1}{4n\pi}$。
步骤 5/5
目标：验证函数值差大于ε0
计算 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$：
$$
f(x_1) = \frac{1}{x_1}\sin\frac{1}{x_1} = \left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right) = \frac{\pi}{2}+2n\pi,
$$
$$
f(x_2) = \frac{1}{x_2}\sin\frac{1}{x_2} = (\pi+4n\pi)\sin(\pi+4n\pi) = 0.
$$
因此
$$
|f(x_1)-f(x_2)| = \frac{\pi}{2}+2n\pi > \frac{1}{2} = \varepsilon_0.
$$
所以 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 上非一致连续。
提示：注意 $\sin(\frac{\pi}{2}+2n\pi)=1$，$\sin(\pi+4n\pi)=0$。
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