上册 2.2 一致连续 第28题
📝 题目
28．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x} \sin \frac{\pi}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 证明：（1）$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续；（2）$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上非一致连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \sin \frac{\pi}{x}=0$ ，所以 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续．
取 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{\frac{1}{2}+2 n}$ ，则 $\displaystyle f\left(x_{n}\right)=\frac{1}{x_{n}} \sin \frac{\pi}{x_{n}}=2 n+\frac{1}{2} \rightarrow \infty(n \rightarrow \infty)$ ．因此 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} \sin \frac{\pi}{x}$ 不存在，从而 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 卜非一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数定义域和连续性
函数 $f(x)$ 在 $x \neq 0$ 时定义为 $\frac{1}{x} \sin \frac{\pi}{x}$，在 $x=0$ 时定义为 $0$。在区间 $[1, +\infty)$ 上，$f(x)$ 是初等函数，因此连续。
提示：注意 $f(x)$ 在 $x=0$ 处定义为0，但区间 $[1,+\infty)$ 不包含0，所以只需考虑 $x\geq 1$ 的连续性。
步骤 2/5
目标：证明 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续
由于 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，且极限 $\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} \sin \frac{\pi}{x} = 0$ 存在（因为 $|\frac{1}{x} \sin \frac{\pi}{x}| \leq \frac{1}{x} \to 0$），根据一致连续的充要条件：若函数在区间上连续且端点极限存在（有限），则函数在该区间上一致连续。因此 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续。
公式：$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$
提示：一致连续的充要条件：闭区间上连续函数必一致连续；对于无穷区间，需要函数连续且端点极限存在。
步骤 3/5
目标：分析 $(0,1)$ 上的连续性
在 $(0,1)$ 上，$f(x)$ 连续，但需要考虑 $x\to 0^+$ 时的行为。由于 $\sin \frac{\pi}{x}$ 振荡，$f(x)$ 在 $0$ 附近无界，因此 $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ 不存在。
提示：注意 $x\to 0^+$ 时 $\frac{1}{x} \to \infty$，而 $\sin \frac{\pi}{x}$ 在 $[-1,1]$ 振荡，导致 $f(x)$ 无界。
步骤 4/5
目标：构造点列证明非一致连续
取点列 $x_n = \frac{1}{\frac{1}{2} + 2n}$，其中 $n$ 为正整数。则 $x_n \in (0,1)$ 且 $x_n \to 0^+$。计算 $f(x_n) = \frac{1}{x_n} \sin \frac{\pi}{x_n} = \left(\frac{1}{2} + 2n\right) \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = \left(\frac{1}{2} + 2n\right) \cdot 1 = 2n + \frac{1}{2} \to +\infty$。因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近无界，从而在 $(0,1)$ 上非一致连续。
公式：$f(x_n) = 2n + \frac{1}{2}$
提示：选择点列时，要使得 $\sin(\pi/x_n)=1$，从而 $f(x_n)$ 趋于无穷。注意 $\frac{1}{x_n} = \frac{1}{2}+2n$。
步骤 5/5
目标：总结一致连续性的结论
由以上讨论，$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续且极限存在，故一致连续；而在 $(0,1)$ 上，由于 $x\to 0^+$ 时函数无界，不满足一致连续的必要条件（一致连续函数必有界），因此非一致连续。
提示：一致连续的必要条件：若函数在区间上一致连续，则函数在该区间上有界。反之，无界函数必非一致连续。
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