上册 2.2 一致连续 第29题

注：称 $y=f(x)$ 在集合 $D(D \subset \mathbf{R})$ 上一致连续是指：对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得对 $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in D$ ，当 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，有 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ）．（浙江大学 2009，北航 1999，地质大学 2005） （3）$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{|x|}$ 分别在 $(-\infty, 0)$ 与 $(0,+\infty)$ 上均一致连续，但在 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ 上非一致连续．（东北大学 2002） （4）$\displaystyle f(x)=\frac{|x|}{\sin x}(x \neq 0)$ 在 $[-1,0)$ 及 $(0,1]$ 上都是一致连续的，但在 $[-1,0) \cup(0,1]$ 上不是一致连续的．（郑州大学 2001） （5）$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致连续．（南京理工 2012，中科大 2013） \section*{解题过程：} （1）由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x}{x}=1, \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin x}{x}=0$ ，因此 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 内一致连续． （2）先证：$\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(0,1)$ 与 $(-1,0)$ 上均一致连续． 由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|\sin x|}{x}=1, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|\sin x|}{x}=-1, \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{|\sin x|}{x}=\sin 1, \lim _{x \rightarrow-1^{-}} \frac{|\sin x|}{x}=-\sin 1$ ，所以 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(0,1)$ 与 $(-1,0)$ 上均一致连续． 再证 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(-1,0) \cup(0,1)$ 上非一致连续。用反正法． 若 $f(x)$ 在 $(-1,0) \cup(0,1)$ 上一致连续，则对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $x_{1}, x_{2} \in(-1,0) \cup(0,1)$ ，且 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ ，有 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon$ 。特别地，由柯西收敛定理，可以推知 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ 存在，但 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=1, \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=-1$ ，这是矛盾的，所以 $f(x)$ 在 $(-1,0) \cup(0,1)$ 上非一致连续． （ $3 \sim 5$ ）与（ 2 ）相似。