上册 2.2 一致连续 第30题
📝 题目
30．证明下列函数在指定区间非一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos \frac{1}{x}, x \in(0,1)$ 。
（2）$f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\tan x, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cdot$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）取 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2 n \pi}, y_{n}=\frac{1}{4 n \pi}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} \mathrm{e}^{x_{n}} \cos \frac{1}{x_{n}}=0, \lim _{n \rightarrow x} \mathrm{e}^{y_{n}} \cos \frac{1}{y_{n}}=1$ ，从而 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{*}} \mathrm{e}^{x} \cos \frac{1}{x}$ 不存在，所以 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos \frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 内非一致连续．
（2）由于 $\lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=+\infty$ ，由题4（4）得 $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ ！非一致连续。
（3）函数 $\tan x$ 在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上连续，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)} \tan x=+\infty$ ．由题 1 函数 $\tan x$ 在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上不一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造点列，证明极限不存在
取 $x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}$, $y_n = \frac{1}{4n\pi}$，则当 $n \to \infty$ 时，$x_n \to 0^+$, $y_n \to 0^+$。计算 $f(x_n) = e^{x_n} \cos(\frac{\pi}{2} + 2n\pi) = e^{x_n} \cdot 0 = 0$，所以 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0$。计算 $f(y_n) = e^{y_n} \cos(4n\pi) = e^{y_n} \cdot 1 = e^{y_n} \to 1$。因此 $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ 不存在。
公式：$\cos(\frac{\pi}{2} + 2n\pi) = 0$, $\cos(4n\pi) = 1$
提示：注意 $\cos \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0^+$ 时振荡，需选取合适的点列使 $\cos$ 取不同值。
步骤 2/4
目标：由极限不存在推出非一致连续
由于 $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ 不存在，函数在 $(0,1)$ 内无界，从而非一致连续。实际上，若一致连续，则极限存在。
提示：一致连续函数在区间端点有极限（若区间有界），但这里左端点极限不存在。
步骤 3/4
目标：利用导数无界证明非一致连续
对于 $f(x)=e^x$，$f'(x)=e^x$，当 $x \to +\infty$ 时，$f'(x) \to +\infty$。由一致连续函数的导数有界性质（若导数无界，则函数非一致连续），可知 $f(x)=e^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致连续。
公式：$f'(x)=e^x$
提示：注意：导数无界不是一致连续的必要条件，但本题中导数趋于无穷大，可推出非一致连续。
步骤 4/4
目标：利用函数无界证明非一致连续
对于 $f(x)=\tan x$，定义域为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，且 $\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} \tan x = +\infty$，函数在区间内无界。由于一致连续函数必有界（在有限区间上），因此 $\tan x$ 在 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 上非一致连续。
公式：$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan x = +\infty$
提示：注意区间是开区间，端点处函数值趋于无穷，导致无界。
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