上册 2.2 一致连续 第31题
📝 题目
31．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x},(a>0)$ ，证明 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，在 $(0, a)$ 内非一致连续．（大连理工 2006，苏州科技 2008，计量学院 2011，兰州大学 1980，中北大学 2005（ $a=1$ ））
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x+1}\right) \cos \frac{1}{x},(a>0)$ 。证明 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f(x)=\lim _{x \rightarrow+x} \frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x}=0$ ．因此 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$上一致连续．
取 $\displaystyle \varepsilon_{0}=\frac{1}{2}, \forall \delta>0$ ，取 $\displaystyle n>\frac{1}{4 \pi \delta}, x_{1}=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2 n \pi}, x_{2}=\frac{1}{\pi+4 n \pi}$ ，则 $x_{1}, x_{2} \in(0, a)$ ，且 $\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{1}{\pi+4 n \pi} <\frac{1}{4 n \pi}$ ，但 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\left|1+\frac{1}{1+x_{1}}\right|>1=\varepsilon_{0}$ ，从而 $f(x)$ 在 $(0, a)$ 上非一致连续．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \cos \frac{1}{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+2}{x+1} \cos \frac{1}{x}=1$ ．因此 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 1：一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析函数在无穷远处的极限
对于 $f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x}$，当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{x+2}{x+1} \to 1$，$\sin \frac{1}{x} \to 0$，因此 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
公式：$$\lim_{x\to+\infty}\frac{x+2}{x+1}=1,\quad \lim_{x\to+\infty}\sin\frac{1}{x}=0$$
提示：注意极限的乘积法则：当两个极限都存在时，乘积的极限等于极限的乘积。
步骤 2/7
目标：证明在闭区间上一致连续
函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ 存在有限，根据一致连续的Cantor定理，$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
公式：Cantor定理：若函数在闭区间上连续，则一致连续。
提示：注意：无穷区间上一致连续的判定需要极限存在。
步骤 3/7
目标：构造反例证明在(0,a)内非一致连续
取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$。对任意 $\delta > 0$，取 $n > \frac{1}{4\pi\delta}$，令 $x_1 = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}$，$x_2 = \frac{1}{\pi+4n\pi}$，则 $x_1,x_2 \in (0,a)$。
提示：注意 $x_1,x_2$ 的选取要使得 $\sin\frac{1}{x}$ 的值分别为1和0。
步骤 4/7
目标：验证两点距离小于δ
计算 $|x_1 - x_2| = \left|\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi} - \frac{1}{\pi+4n\pi}\right| = \frac{1}{\pi+4n\pi} < \frac{1}{4n\pi} < \delta$。
公式：$$|x_1-x_2| = \frac{1}{\pi+4n\pi}$$
提示：注意分母化简：$\frac{1}{\pi+4n\pi} = \frac{1}{\pi(1+4n)}$。
步骤 5/7
目标：验证函数值差大于ε0
计算 $f(x_1) = \frac{x_1+2}{x_1+1} \sin\frac{1}{x_1} = \frac{x_1+2}{x_1+1} \cdot 1$，$f(x_2) = \frac{x_2+2}{x_2+1} \sin\frac{1}{x_2} = \frac{x_2+2}{x_2+1} \cdot 0 = 0$，因此 $|f(x_1)-f(x_2)| = \frac{x_1+2}{x_1+1} > 1 > \varepsilon_0$。
公式：$$\sin\frac{1}{x_1}=1,\quad \sin\frac{1}{x_2}=0$$
提示：注意 $\frac{x_1+2}{x_1+1} > 1$ 因为 $x_1>0$。
步骤 6/7
目标：结论：在(0,a)内非一致连续
由一致连续的定义，存在 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$，对任意 $\delta>0$，存在 $x_1,x_2$ 满足 $|x_1-x_2|<\delta$ 但 $|f(x_1)-f(x_2)|>\varepsilon_0$，故 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 上非一致连续。
提示：注意非一致连续的证明关键是找到反例。
步骤 7/7
目标：证明第二问：在[a,+∞)上一致连续
对于 $f(x)=\frac{x+2}{x+1}\cos\frac{1}{x}$，当 $x\to+\infty$ 时，$\frac{x+2}{x+1}\to 1$，$\cos\frac{1}{x}\to 1$，因此 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$ 存在有限。$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，由Cantor定理知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
公式：$$\lim_{x\to+\infty}\frac{x+2}{x+1}=1,\quad \lim_{x\to+\infty}\cos\frac{1}{x}=1$$
提示：注意极限存在是无穷区间上一致连续的关键条件。
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