上册 2.2 一致连续 第32题
📝 题目
32．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)=\ln x$ ，证明：（1）在 $(0,1)$ 及 $(0,+\infty)$ 非一致连续；（2）在 $[1,+\infty)$ 一致连续
（2）证明：函数 $f(x)=x \ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续。武汉大学1992，首都师大2010）
（3）证明：函数 $f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续．
（4）设 $\alpha>0$ ，试确定函数 $f(x)=x^{\alpha} \ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致连续的参数 $\alpha$ 的范围．
（5）证明：函数 $f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致连续。安徽大学 2009）
（6）证明：函数 $f(x)=\sqrt[3]{x} \ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
解题过程：
（1）由于 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln x=-\infty$ ，所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 及 $(0,+\infty)$ 上非一致连续．
又由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}=0$ ，所以 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续．
（2）由于 $f^{\prime}(x)=(x \ln x)^{\prime}=\ln x+1 \rightarrow+\infty(x \rightarrow+\infty)$ ，所以函数 $f(x)=x \ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续。
（3）因 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{\ln x+2}{2 \sqrt{x}}>0, x \in[1,+\infty), f^{\prime \prime}(x)=-\frac{\ln x}{4 x \sqrt{x}}<0$ ．故 $f^{\prime}(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上严格单调递减．
又 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x+2}{2 \sqrt{x}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0, \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\ln x+2}{2 \sqrt{x}}=1$ ，所以 $f^{\prime}(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上有界。从而存在常数 $M>0$ ，使得 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M, x \in[1,+\infty)$ ．从而 $\forall \varepsilon>0$ ，取 $\displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{M}>0$ ，则当 $x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)$ 且 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时，有
$\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\left|f^{\prime}(\xi)\left(x_{1}-x_{2}\right)\right| \leqslant M\left|x_{1}-x_{2}\right|
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析函数在(0,1)和(0,+∞)的非一致连续性
对于 $f(x)=\ln x$，由于 $\lim_{x\to 0^+} f(x) = -\infty$，函数在 $x=0$ 附近无界，因此不可能一致连续。具体地，存在 $\varepsilon=1$，对任意 $\delta>0$，取 $x_1=\min(\delta/2, 1/2)$，$x_2=x_1/2$，则 $|x_1-x_2|<\delta$ 但 $|\ln x_1 - \ln x_2| = \ln 2 > 1$。故在 $(0,1)$ 及 $(0,+\infty)$ 非一致连续。
提示：注意非一致连续的证明通常需要构造特定的点列，利用函数在端点附近的无界性。
步骤 2/7
目标：证明ln x在[1,+∞)一致连续
计算导数 $f'(x)=1/x$，则 $\lim_{x\to +\infty} f'(x)=0$，因此 $f'(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上有界（例如 $|f'(x)|\le 1$）。由拉格朗日中值定理，对任意 $x_1,x_2\in[1,+\infty)$，存在 $\xi$ 介于两者之间，使得 $|f(x_1)-f(x_2)|=|f'(\xi)||x_1-x_2|\le |x_1-x_2|$。故对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon$，则当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$，从而一致连续。
公式：拉格朗日中值定理：$f(x_1)-f(x_2)=f'(\xi)(x_1-x_2)$
提示：注意导数有界是一致连续的充分条件，但非必要。
步骤 3/7
目标：证明x ln x在(0,+∞)非一致连续
计算导数 $f'(x)=\ln x+1$，当 $x\to +\infty$ 时，$f'(x)\to +\infty$，因此导数无界。取 $x_n=n$，$y_n=n+1/n$，则 $|x_n-y_n|=1/n\to 0$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|=|n\ln n - (n+1/n)\ln(n+1/n)|$。利用 $\ln(n+1/n)=\ln n+\ln(1+1/n^2)\approx \ln n+1/n^2$，可得差值 $\approx |n\ln n - (n+1/n)(\ln n+1/n^2)| = | -\ln n/n -1/n^3| \approx \ln n/n$，当 $n$ 充分大时大于某个正数，故非一致连续。
提示：常用反例：取两点距离很小但函数值差很大，利用导数无界。
步骤 4/7
目标：证明√x ln x在[1,+∞)一致连续
计算导数 $f'(x)=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}$。当 $x\to +\infty$ 时，$f'(x)\to 0$，且 $f'(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，故有界。由拉格朗日中值定理，存在 $M>0$ 使得 $|f(x_1)-f(x_2)|\le M|x_1-x_2|$，从而一致连续。
公式：导数 $f'(x)=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}$
提示：注意验证导数在无穷远处趋于0，从而有界。
步骤 5/7
目标：确定x^α ln x一致连续的α范围
计算导数 $f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\ln x + x^{\alpha-1}$。当 $\alpha\ge 1$ 时，$\lim_{x\to +\infty} f'(x)=+\infty$，导数无界，故非一致连续。当 $\alpha<1$ 时，$\lim_{x\to +\infty} f'(x)=0$，且 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续，但需考虑 $x\to 0^+$ 的行为。实际上，当 $\alpha>0$ 时，$\lim_{x\to 0^+} f(x)=0$，且 $f$ 在 $(0,1]$ 上连续，可延拓到闭区间 $[0,1]$，从而一致连续。结合 $[1,+\infty)$ 上导数有界，整体一致连续。因此 $\alpha\in(0,1)$。
公式：导数 $f'(x)=x^{\alpha-1}(\alpha\ln x+1)$
提示：注意 $\alpha=0$ 时 $f(x)=\ln x$ 非一致连续，但题目中 $\alpha>0$。
步骤 6/7
目标：证明√x ln x在(0,+∞)一致连续
由第(4)问，取 $\alpha=1/2<1$，则 $f(x)=\sqrt{x}\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致连续。也可直接验证：$\lim_{x\to 0^+} f(x)=0$，$\lim_{x\to +\infty} f'(x)=0$，且 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 连续，故一致连续。
提示：注意 $\sqrt{x}\ln x$ 在 $x=0$ 附近有界，且导数在无穷远处趋于0。
步骤 7/7
目标：证明∛x ln x在(0,+∞)一致连续
计算导数 $f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}\ln x + x^{-2/3} = x^{-2/3}(\frac{1}{3}\ln x+1)$。当 $x\to 0^+$ 时，$f(x)\to 0$；当 $x\to +\infty$ 时，$f'(x)\to 0$。且 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 连续，故一致连续。
公式：导数 $f'(x)=x^{-2/3}(\frac{1}{3}\ln x+1)$
提示：注意 $\alpha=1/3<1$，由第(4)问结论直接可得。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。