上册 2.2 一致连续 第33题
📝 题目
33．证明下列函数在指定区间内一致连续．
（1）$\displaystyle f(x)=x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right), x \in[2,+\infty)$ ．
（2）$f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right), x \in(0,+\infty)$ ．
（3）$f(x)=\sqrt{x(x-1)}, x \in[1,+\infty)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）函数 $\displaystyle f(x)=x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 在 $[2,+\infty)$ 上连续，且
$$
f^{\prime}(x)=2 x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)+x^{2} \frac{1}{1+\frac{1}{x}}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=2 x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}
$$
因 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[2 x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right]=1$ ．所以函数 $\displaystyle f(x)=x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 在 $[2,+\infty)$ 上一致连续．
（2）函数 $f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续．
由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}=0$ ，所以函数 $f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致连续．
（3）由于函数 $f(x)=\sqrt{x(x-1)}$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{2} \frac{2 x-1}{\sqrt{x(x-1)}}=1$ ，所以函数 $f(x)=\sqrt{x(x-1)}$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析函数定义域与连续性
首先，检查每个函数的定义域和连续性。对于(1)，$f(x)=x^2\ln(1+1/x)$在$x\in[2,+\infty)$上连续，因为$x^2$和$\ln(1+1/x)$都在该区间连续。对于(2)，$f(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$在$(0,+\infty)$上连续，因为$x+\sqrt{1+x^2}>0$且对数函数连续。对于(3)，$f(x)=\sqrt{x(x-1)}$在$[1,+\infty)$上连续，因为$x(x-1)\ge0$且平方根函数连续。
提示：注意定义域端点：区间是否包含端点会影响一致连续性的判断。
步骤 2/6
目标：求导数并分析导数在无穷远处的极限
对于(1)，求导：$f'(x)=2x\ln(1+1/x)+x^2\cdot\frac{1}{1+1/x}\cdot(-1/x^2)=2x\ln(1+1/x)-\frac{1}{1+x}$。计算极限：$\lim_{x\to+\infty}f'(x)=\lim_{x\to+\infty}[2x\ln(1+1/x)-\frac{1}{1+x}]$。利用$\ln(1+1/x)\sim 1/x$，得$2x\cdot(1/x)=2$，减去$0$得$2$？实际上$\lim_{x\to+\infty}2x\ln(1+1/x)=2$，而$\frac{1}{1+x}\to0$，故极限为$2$？但答案写的是$1$，需重新计算：$\ln(1+1/x)\sim 1/x-1/(2x^2)$，则$2x\ln(1+1/x)\sim 2-1/x$，极限为$2$，减去$0$得$2$。但答案说极限是$1$，可能我算错了。实际上$f'(x)=2x\ln(1+1/x)-\frac{1}{1+x}$，当$x\to+\infty$时，$\ln(1+1/x)\sim 1/x$，所以$2x\ln(1+1/x)\to2$，而$\frac{1}{1+x}\to0$，所以极限应为$2$。但答案写的是$1$，可能题目有误？或者我漏了项？再检查导数：$f(x)=x^2\ln(1+1/x)$，求导：$f'=2x\ln(1+1/x)+x^2\cdot\frac{1}{1+1/x}\cdot(-1/x^2)=2x\ln(1+1/x)-\frac{x^2}{x+1}\cdot\frac{1}{x^2}=2x\ln(1+1/x)-\frac{1}{1+x}$，正确。极限：$\lim_{x\to+\infty}2x\ln(1+1/x)=2$（因为$\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$，令$t=1/x$，则$2x\ln(1+1/x)=2\frac{\ln(1+t)}{t}\to2$），所以极限为$2$。但答案写$1$，可能是印刷错误？或者我理解有误？实际上，$\lim_{x\to+\infty}f'(x)$存在有限，说明导数有界，从而函数一致连续。但答案说极限是$1$，可能他们算的是别的？不管，我们按正确计算。
公式：$\lim_{x\to+\infty}2x\ln(1+1/x)=2$
提示：注意等价无穷小替换：$\ln(1+1/x)\sim 1/x$，但需小心精度。
步骤 3/6
目标：利用导数有界性证明一致连续
对于(1)，由于$f'(x)$在$[2,+\infty)$上连续且$\lim_{x\to+\infty}f'(x)=2$（有限），所以$f'(x)$在$[2,+\infty)$上有界。根据拉格朗日中值定理，对任意$x_1,x_2\in[2,+\infty)$，存在$\xi$介于$x_1,x_2$之间，使得$|f(x_1)-f(x_2)|=|f'(\xi)||x_1-x_2|\le M|x_1-x_2|$，其中$M$是$f'$的上界。因此$f$满足Lipschitz条件，从而一致连续。
公式：$|f(x_1)-f(x_2)|=|f'(\xi)||x_1-x_2|$
提示：一致连续的充分条件：导数有界。注意区间是无穷区间，但导数极限存在有限即可保证有界。
步骤 4/6
目标：处理(2)的导数与极限
对于(2)，$f(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$，求导：$f'(x)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。计算极限：$\lim_{x\to+\infty}f'(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=0$。另外，$\lim_{x\to0^+}f(x)=0$，但$f$在$(0,+\infty)$上连续，且导数在无穷远处趋于0，但导数在0附近无界？实际上$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$在$(0,+\infty)$上有界（$\le1$），所以$f$满足Lipschitz条件，从而一致连续。但答案提到$\lim_{x\to0^+}f(x)=0$，可能为了说明在0附近连续且极限存在，但一致连续需要整个区间。实际上，由于$f'$有界，直接可得一致连续。
公式：$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
提示：注意求导时化简，避免复杂计算。
步骤 5/6
目标：处理(3)的导数与极限
对于(3)，$f(x)=\sqrt{x(x-1)}$，定义域$[1,+\infty)$。求导：$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x(x-1)}}\cdot(2x-1)=\frac{2x-1}{2\sqrt{x(x-1)}}$。计算极限：$\lim_{x\to+\infty}f'(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2-1/x}{2\sqrt{1-1/x}}=1$。因此$f'$在$[1,+\infty)$上连续且极限存在，故有界，从而$f$一致连续。
公式：$f'(x)=\frac{2x-1}{2\sqrt{x(x-1)}}$
提示：注意导数在端点可能不存在，需分段处理。
步骤 6/6
目标：总结一致连续性证明
综上所述，三个函数在指定区间上均一致连续。对于(1)和(2)，导数在无穷远处极限存在且有限，结合区间内导数连续，可得导数有界，从而函数满足Lipschitz条件，一致连续。对于(3)，需注意在$x=1$处导数不存在，但可将区间分为$[1,2]$和$[2,+\infty)$，前者由闭区间连续函数一致连续，后者由导数有界得一致连续，从而整体一致连续。
提示：一致连续的常用方法：Cantor定理（闭区间连续函数一致连续）、导数有界（Lipschitz条件）、极限存在（无穷区间上导数极限存在有限）。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。