上册 2.2 一致连续 第34题
📝 题目
34．证明下列结论．
（1）函数 $\omega_{f}(\delta)=\sup \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$（其中 $x_{1}, x_{2}$ 是 $(a, b)$ 中满足 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 的任意两点）称为函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的连续模数。证明：$f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续的充要条件为 $\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \omega_{f}(\delta)=0$ 。
（2）设函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上有界，证明： $\mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $(a, b)$ 内一致连续当且仅当 $\lim _{\delta \rightarrow 0^{\circ}} \omega(f, \delta)=0$ ，其中 $\omega(f, \delta)=\sup _{\substack{\left|x_{1}-x_{1}\right|<\delta \\ x_{1}, x_{2} \in(a, b)}}\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）必要性：因 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续，所以 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{1}>0$ ，当 $x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ 且 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta_{1}$ 时，有 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon$ ．
取 $\delta: 0<\delta<\delta_{1}$ ，从而 $\displaystyle \omega_{f}(\delta)=\sup \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant \frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$ ，即 $\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \omega_{f}(\delta)=0$ ．
充分性：因 $\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \omega_{f}(\delta)=0$ ，即 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{1}>0$ ，当 $0<\delta<\delta_{1}$ 时，有 $\left|\omega_{f}(\delta)\right|<\varepsilon$ 。令 $x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ 且 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta_{1}$ ．
若 $x_{1}=x_{2}$ ，显然有 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=0<\varepsilon$ ．
若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，令 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta_{2}$ ，则 $0<\delta_{2}<\delta_{1}$ ，于是 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant\left|\omega_{f}\left(\delta_{2}\right)\right|<\varepsilon$ 。
故 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续．
（2）由（1）直接得证．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解连续模数的定义
定义函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上的连续模数为 $\omega_f(\delta)=\sup\{|f(x_1)-f(x_2)|: x_1,x_2\in(a,b), |x_1-x_2|<\delta\}$。该模数刻画了函数在距离小于 $\delta$ 的两点上的最大波动。
公式：$\omega_f(\delta)=\sup_{|x_1-x_2|<\delta, x_1,x_2\in(a,b)}|f(x_1)-f(x_2)|$
提示：注意 $\omega_f(\delta)$ 是 $\delta$ 的单调不减函数，且 $\omega_f(\delta)\ge 0$。
步骤 2/8
目标：证明必要性：一致连续推出极限为零
假设 $f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，使得当 $|x_1-x_2|<\delta_1$ 时，$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon/2$。取 $0<\delta<\delta_1$，则对所有满足 $|x_1-x_2|<\delta$ 的点对，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon/2$，因此上确界 $\omega_f(\delta)\le \varepsilon/2<\varepsilon$。故 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega_f(\delta)=0$。
提示：注意 $\varepsilon/2$ 的取法是为了严格小于 $\varepsilon$，实际上直接取 $\varepsilon$ 也可，但需注意上确界可能等于 $\varepsilon$ 的情况。
步骤 3/8
目标：证明充分性：极限为零推出一致连续
假设 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega_f(\delta)=0$。则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，使得当 $0<\delta<\delta_1$ 时，$\omega_f(\delta)<\varepsilon$。现在取 $\delta_0=\delta_1$，对任意 $x_1,x_2\in(a,b)$ 满足 $|x_1-x_2|<\delta_0$，令 $\delta=|x_1-x_2|$，则 $0<\delta<\delta_0$（若 $x_1=x_2$ 则直接有 $|f(x_1)-f(x_2)|=0<\varepsilon$），于是 $|f(x_1)-f(x_2)|\le \omega_f(\delta)<\varepsilon$。因此 $f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。
提示：注意当 $x_1=x_2$ 时，$\delta=0$，但定义中 $\delta>0$，需单独处理。
步骤 4/8
目标：理解第二问的符号
第二问中 $\omega(f,\delta)$ 的定义与第一问的 $\omega_f(\delta)$ 完全相同，即 $\omega(f,\delta)=\sup_{|x_1-x_2|<\delta, x_1,x_2\in(a,b)}|f(x_1)-f(x_2)|$。题目要求证明 $e^{f(x)}$ 在 $(a,b)$ 上一致连续当且仅当 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega(f,\delta)=0$。
公式：$\omega(f,\delta)=\sup_{|x_1-x_2|<\delta, x_1,x_2\in(a,b)}|f(x_1)-f(x_2)|$
提示：注意 $\omega(f,\delta)$ 是 $f$ 的连续模数，不是 $e^f$ 的。
步骤 5/8
目标：利用第一问结论证明第二问
由第一问可知，函数 $g(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续的充要条件是 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega_g(\delta)=0$，其中 $\omega_g(\delta)$ 是 $g$ 的连续模数。现在令 $g(x)=e^{f(x)}$，则 $g$ 在 $(a,b)$ 上一致连续当且仅当 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega_g(\delta)=0$。但题目中给出的条件是 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega(f,\delta)=0$，其中 $\omega(f,\delta)$ 是 $f$ 的连续模数。因此我们需要证明 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega_g(\delta)=0$ 等价于 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega(f,\delta)=0$。
提示：注意 $\omega_g(\delta)$ 与 $\omega(f,\delta)$ 不同，不能直接等同。
步骤 6/8
目标：证明等价性：利用指数函数的性质
由于 $f$ 在 $(a,b)$ 上有界，存在 $M>0$ 使得 $|f(x)|\le M$ 对所有 $x\in(a,b)$ 成立。指数函数 $e^t$ 在 $[-M,M]$ 上一致连续（因为闭区间上连续函数必一致连续）。因此，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\eta>0$，使得当 $|t_1-t_2|<\eta$ 时，$|e^{t_1}-e^{t_2}|<\varepsilon$。现在，若 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega(f,\delta)=0$，则存在 $\delta_0>0$，使得当 $|x_1-x_2|<\delta_0$ 时，$|f(x_1)-f(x_2)|<\eta$，从而 $|e^{f(x_1)}-e^{f(x_2)}|<\varepsilon$，即 $e^{f(x)}$ 一致连续。反之，若 $e^{f(x)}$ 一致连续，则 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega_g(\delta)=0$。但 $\omega_g(\delta)$ 与 $\omega(f,\delta)$ 的关系？实际上，由指数函数的连续性，$\omega(f,\delta)\to 0$ 可推出 $\omega_g(\delta)\to 0$；反过来，若 $\omega_g(\delta)\to 0$，则 $f$ 的连续模数是否趋于零？注意 $f$ 有界，但指数函数不是全局 Lipschitz，所以反向推导需要小心。实际上，题目中“当且仅当”的结论并不直接由第一问得到，因为第一问是对同一个函数而言。这里 $e^{f(x)}$ 的一致连续性等价于 $f$ 的连续模数趋于零吗？我们需仔细分析。
提示：注意指数函数在有限区间上一致连续，但 $f$ 的值域可能不是闭区间，但由于有界，可取闭包。
步骤 7/8
目标：纠正：第二问实际上是第一问的直接应用
重新审视题目：第二问中 $\omega(f,\delta)$ 的定义与第一问的 $\omega_f(\delta)$ 完全相同，但结论是“$e^{f(x)}$ 在 $(a,b)$ 内一致连续当且仅当 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega(f,\delta)=0$”。注意这里 $\omega(f,\delta)$ 是 $f$ 的连续模数，而不是 $e^f$ 的。但由第一问，$e^f$ 一致连续当且仅当 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega_{e^f}(\delta)=0$。因此，我们需要证明 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega(f,\delta)=0$ 等价于 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega_{e^f}(\delta)=0$。由于 $f$ 有界，指数函数在 $f$ 的值域上是一致连续的，所以 $\omega_{e^f}(\delta)\to 0$ 当且仅当 $\omega(f,\delta)\to 0$。具体地：若 $\omega(f,\delta)\to 0$，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\eta>0$ 使得 $|e^{u}-e^{v}|<\varepsilon$ 当 $|u-v|<\eta$，再取 $\delta$ 使得 $\omega(f,\delta)<\eta$，则 $|e^{f(x_1)}-e^{f(x_2)}|<\varepsilon$，故 $\omega_{e^f}(\delta)\to 0$。反之，若 $\omega_{e^f}(\delta)\to 0$，则 $e^{f(x)}$ 一致连续，但 $f$ 不一定一致连续？例如 $f(x)=\ln x$ 在 $(0,1)$ 上无界，但 $e^{f(x)}=x$ 一致连续。然而题目中 $f$ 有界，所以 $f$ 的值域包含于某个闭区间，指数函数在该区间上严格单调且连续，其反函数 $\ln$ 也一致连续（在闭区间上），因此由 $e^f$ 一致连续可推出 $f$ 一致连续，从而 $\omega(f,\delta)\to 0$。所以等价性成立。
提示：注意有界性保证了指数函数的值域有界，从而反函数一致连续。
步骤 8/8
目标：总结第二问的证明
由于 $f$ 在 $(a,b)$ 上有界，设 $|f(x)|\le M$。则 $e^f$ 的值域包含于 $[e^{-M}, e^M]$。指数函数 $e^t$ 在 $[-M,M]$ 上一致连续，其反函数 $\ln t$ 在 $[e^{-M}, e^M]$ 上也一致连续。因此，$e^f$ 一致连续当且仅当 $f$ 一致连续（因为一致连续函数与一致连续函数的复合仍一致连续，且 $f=\ln(e^f)$）。而由第一问，$f$ 一致连续当且仅当 $\lim_{\delta\to 0^+}\omega(f,\delta)=0$。故结论成立。
提示：注意这里利用了复合函数的一致连续性：若 $g$ 一致连续，$h$ 一致连续，则 $h\circ g$ 一致连续。
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