上册 2.2 一致连续 第37题
📝 题目
37．设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上可积，则 $\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[a, b]$ 上一致连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$$
\forall x_{0} \in[a, b]
$$
$$
\Phi\left(x_{0}+\Delta x\right)-\Phi\left(x_{0}\right)=\int_{a}^{x_{0}+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{a}^{x_{0}} f(t) \mathrm{d} t=\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t \rightarrow 0(\Delta x \rightarrow 0)
$$
所以 $\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x_{0}$ 连续。由 $x_{0}$ 的任意性，$\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[a, b]$ 连续。进一步得 $\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[a, b]$ 上一致连续。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确要证明的目标
要证明 $\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[a, b]$ 上一致连续，即证明：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a, b]$，当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|\Phi(x_1) - \Phi(x_2)| < \varepsilon$。
提示：注意一致连续与连续的区别：一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置。
步骤 2/5
目标：利用可积性得到有界性
由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。即存在 $M > 0$，使得对任意 $t \in [a, b]$，有 $|f(t)| \leq M$。
公式：若 $f$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界。
提示：可积函数必有界，这是常用性质。
步骤 3/5
目标：推导差值的绝对值不等式
对任意 $x_1, x_2 \in [a, b]$，不妨设 $x_1 \leq x_2$，则
$$|\Phi(x_2) - \Phi(x_1)| = \left| \int_{a}^{x_2} f(t) \mathrm{d} t - \int_{a}^{x_1} f(t) \mathrm{d} t \right| = \left| \int_{x_1}^{x_2} f(t) \mathrm{d} t \right| \leq \int_{x_1}^{x_2} |f(t)| \mathrm{d} t \leq M (x_2 - x_1).$$
公式：$\left| \int_{x_1}^{x_2} f(t) \mathrm{d} t \right| \leq \int_{x_1}^{x_2} |f(t)| \mathrm{d} t$
提示：注意绝对值不等式：$|\int f| \leq \int |f|$。
步骤 4/5
目标：取合适的 $\delta$
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \frac{\varepsilon}{M}$（若 $M=0$，则 $f$ 几乎处处为零，结论显然成立）。则当 $|x_2 - x_1| < \delta$ 时，有 $|\Phi(x_2) - \Phi(x_1)| \leq M |x_2 - x_1| < M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon$。
提示：注意 $M$ 可能为0，此时 $\delta$ 可取任意正数。
步骤 5/5
目标：验证一致连续性
由上述推导，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta = \varepsilon / M$（若 $M>0$），使得对任意 $x_1, x_2 \in [a, b]$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|\Phi(x_1) - \Phi(x_2)| < \varepsilon$。因此 $\Phi(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续。
提示：一致连续的定义：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2 \in [a,b], |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |\Phi(x_1)-\Phi(x_2)|<\varepsilon$。
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