上册 2.2 一致连续 第38题
📝 题目
38．判断题．
（1）区间 $I$ 上一致连续的函数总是有界的．
💡 答案解析
答：错误．如 $f(x)=x, x \in(-\infty,+\infty) . f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续，但无界。
（2）若函数 $f(x), g(x)$ 均在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续，则它们的积 $f(x) g(x)$ 也在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续．（东南大学 2003，西安交大 2010，西南大学 2007）
答：错误．如 $f(x)=g(x)=x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续，但 $f(x) g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不一致连续．
（3）设 $f(x)$ 在区间 $J$ 上连续，$g(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续，$g(I) \subset J$ ，则函数 $f(g(x))$ 在区间 $I$上也一致连续。（上海交大 2008）
答：错误．如 $I=J=(-\infty,+\infty), f(u)=u^{2}, g(x)=x, f(g(x))=x^{2}$ ．
（4）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续．（华东师大 $2004 / 2013$ ）
答：错误．反例 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上连续，且有界，但 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上非一致连续．
（5）存在一个在有界区间 $(a, b)$ 上连续有界但非一致连续的函数．（苏州大学 2009）
答：正确．如 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}, x \in(0,1)$ ．
（6）若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续有界，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致连续。西安电子科技 2012）
答：错误．反例 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}, x \in(0,+\infty)$ ．
（7）设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续，则函数 $f^{2}(x)$ 在区间 $I$ 上也一致连续．（南京农大 2008，华东师大2005）
答：错误．如 $f(x)=x, x \in(-\infty,+\infty)$
（8）设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上有界，则 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上一致连续．（华东师大2003）
答：正确．由中值定理及一致连续的定义可证．
（9）在有限区间上可导的函数 $f(x)$ 一定是一致连续．（苏州大学 2013）
答：错误。见（5）的反例。
（10）在有界闭区间上可导的函数 $f(x)$ 是一致连续的．（苏州大学 2012）
答：正确．在有界闭区间上可导的函数 $f(x)$ 是连续的，从而一致连续．
（11） $\sin x$ 在整个实轴上是一致连续的．（吉林大学 2006）
答：正确．由定义可证．
（12）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 一致连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上有界。重决大学2003．吉林大学2003）
答：正确．由 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 一致连续及柯西收敛准则知 $f(a+0), f(b-0)$ 存在，对 $f(x)$ 连续延拓至 $[a, b]$ ，可得 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，从而 $f(x)$ 在 $(a, h)$ 上有界。
（13）在 $[a, b]$ 上具有介值性（即 $f(x)$ 可取得 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的一切实数）的单调函数 $f(x)$ 必一致连续．（南京师大 2005）
答：正确．因在 $[a, b]$ 上具有介值性的单调函数 $f(x)$ 是连续的，从而在 $[a, b]$ ：一致连续．
（14）若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上一致连续，则 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内可导．（中南大学 2008）答：错误。如 $f(x)=|x|, x \in[-1,1]$ ．
（15）若函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有定义且是连续的，极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限，则 $f(x)$ 在此区间上一致连续．（中南大学2006）
答：正确．见题 9 。
（16）$f(x)$ 是在 $[a, b]$ 上的凸函数，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续．（西安交大 2010）
答：正确．$f(x)$ 是在 $[a, b]$ 上的凸函数，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，从而 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续．
（17）若函数 $f(x)$ 为区间 $I$ 上的连续函数，则
（1）若 $I$ 为有限闭区间，则 $f(x)$ 在此区间上一致连续。
（2）若 $I$ 为有限开区间，则 $f(x)$ 在此区间上一致连续。
（3）若 $f(x)$ 在区间 $I$ ：有界，则 $f(x)$ 在此区间上一致连续。
（4）若 $f(x)$ 在区间 $I=(-\infty, \infty)$ 卜有界，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在此区间上一致连续。厦门大学 2008）
答：（1）正确；（2）不一定，如 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}, x \in(0,1)$ ；（3）不一定，如 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}, x \in(0,1)$ ；（4）正确．
（18）$y=\sin x^{2}$ 在整个实轴上是一致连续的．（苏州大学 2015）
答：错误。见 25 题。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续的定义：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。
公式：一致连续定义
提示：注意一致连续与连续的区别：一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x$ 的位置。
步骤 2/8
目标：分析反例 $f(x)=x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的一致连续性
对于 $f(x)=x$，任取 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，则当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，$|f(x_1)-f(x_2)| = |x_1 - x_2| < \varepsilon$，因此 $f(x)=x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续。但 $f(x)=x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上无界。
提示：一致连续函数不一定有界，反例是线性函数。
步骤 3/8
目标：分析反例 $f(x)=g(x)=x$ 的乘积
取 $f(x)=g(x)=x$，则 $f(x)g(x)=x^2$。$x^2$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不一致连续，因为当 $x$ 很大时，函数值变化剧烈。例如，取 $\varepsilon=1$，对任意 $\delta>0$，存在 $x_1 = N, x_2 = N+\delta/2$，使得 $|x_1^2 - x_2^2| = |2N\cdot \delta/2 + (\delta/2)^2| = N\delta + \delta^2/4$，当 $N$ 足够大时，该值大于1。
提示：两个一致连续函数的乘积不一定一致连续，反例是 $x$ 和 $x$ 的乘积。
步骤 4/8
目标：分析复合函数反例
取 $I=J=(-\infty,+\infty)$，$f(u)=u^2$，$g(x)=x$。$f(u)=u^2$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不一致连续（因为无界且导数无界），$g(x)=x$ 一致连续，但复合函数 $f(g(x))=x^2$ 不一致连续。
提示：复合函数一致连续需要外层函数在值域上一致连续，而不仅仅是连续。
步骤 5/8
目标：分析 $\sin(1/x)$ 在 $(0,1)$ 上的性质
$f(x)=\sin(1/x)$ 在 $(0,1)$ 上连续且有界（$|\sin(1/x)|\leq 1$），但非一致连续。因为当 $x$ 接近0时，函数振荡剧烈。例如，取 $\varepsilon=1$，对任意 $\delta>0$，存在 $x_1 = 1/(2n\pi)$，$x_2 = 1/(2n\pi+\pi/2)$，当 $n$ 足够大时，$|x_1-x_2|<\delta$，但 $|f(x_1)-f(x_2)|=|0-1|=1$。
提示：有界连续函数不一定一致连续，反例是振荡函数。
步骤 6/8
目标：判断有界闭区间上可导函数的一致连续性
在有界闭区间上可导的函数 $f(x)$ 必连续，由 Cantor 定理，连续函数在闭区间上一致连续。因此（10）正确。
公式：Cantor 定理
提示：可导蕴含连续，闭区间上连续则一致连续。
步骤 7/8
目标：判断 $\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上的一致连续性
对于 $\sin x$，由于 $|\sin x_1 - \sin x_2| \leq |x_1 - x_2|$（利用和差化积或导数有界），取 $\delta = \varepsilon$，则当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，$|\sin x_1 - \sin x_2| < \varepsilon$，因此一致连续。
公式：$|\sin x_1 - \sin x_2| \leq |x_1 - x_2|$
提示：Lipschitz 连续蕴含一致连续。
步骤 8/8
目标：总结一致连续的充分条件
常见充分条件：闭区间上连续函数一致连续；导数有界则一致连续；极限存在且有限时，无穷区间上一致连续。反例：开区间上的连续有界函数不一定一致连续（如 $\sin(1/x)$），无界函数可能一致连续（如 $f(x)=x$）。
提示：注意区分开区间和闭区间，有界和无界。
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