上册 2.3 函数的零点 第1题

证明过程： 关于零点存在定理教材一般采用区间套定理证明．下面用有限覆盖定理证明及确界原理证明． （1）用有限覆盖定理证明：（采用反证法） 若对于任意点 $x \in(a, b)$ ，有 $f(x) \neq 0$ ，那么显然对于任意 $x \in[a, b]$ ，仍然有 $f(x) \neq 0$ ． 由 $f(x)$ 的连续性，对 $\forall x \in[a, b]$ ，存在一个邻域 $U\left(x ; \delta_{x}\right)$ ，使得 $f(x)$ 在 $U\left(x ; \delta_{x}\right) \cap[a, b]$ 中保号。 记 $H=\left\{U\left(x ; \delta_{x}\right) \mid x \in[a, b]\right\}$ ，则 $H$ 为 $[a, b]$ 的开覆盖。 由有限覆盖定理，存在有限个邻域 $U\left(x_{1} ; \delta_{x_{1}}\right), U\left(x_{2} ; \delta_{x_{2}}\right), \cdots, U\left(x_{n} ; \delta_{x_{n}}\right)$ 覆盖闭区间 $[a, b]$ 。再由覆盖定理的加强形式可得，存在 $\varepsilon>0$ ，满足当 $y_{1}, y_{2} \in[a, b],\left|y_{1}-y_{2}\right|<\varepsilon$ 时，存在 $U\left(x_{1} ; \delta_{x_{1}}\right)$ ， $U\left(x_{2} ; \delta_{x_{2}}\right), \cdots, U\left(x_{n} ; \delta_{x_{n}}\right)$ 中的某个开区间同时覆盖 $y_{1}, y_{2}$ 。于是当 $\left|y_{1}-y_{2}\right|<\varepsilon$ 时，有 $f\left(y_{1}\right), f\left(y_{2}\right)$同号。 取正整数 $m$ ，满足 $\displaystyle \frac{b-a}{m}<\varepsilon$ 。令 $\displaystyle z_{i}=a+\frac{(b-a) i}{m}, i=0,1, \cdots, m$ ，则 $\left|z_{i+1}-z_{i}\right|<\varepsilon, f\left(z_{i}\right)$ 与 $f\left(z_{i+1}\right)$ 同号，从而 $f\left(z_{0}\right)$ 与 $f\left(z_{m}\right)$ 同号，即 $f(a)$ 与 $f(b)$ 同号，这与题目中的 $f(a) f(b)<0$ 矛盾，证明完毕。 （2）分析：$c$ 的存在性由零点存在定理可得．若有多个零点，只需取距离 $b$ 最近的那个即可。 令 $E=\{x \mid x \in[a, b], f(x) \leqslant 0\}$ ，则 $a \in E, E$ 非空，记 $c=\sup E$ 。 当 $\forall x \in[a, b]-E, f(x)>0$ ，由 $f(x)$ 的连续性知 $f(c) \geqslant 0$ ． $\forall n>0, \exists x_{n} \in E$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=c$ 。由 $f\left(x_{n}\right) \leqslant 0$ 得 $f(c) \leqslant 0$ ． 综上得 $f(c)=0$ ，且 $\forall x \in(c, b], f(x)>0$ 。 （3）若 $f(x) \equiv 0$ ，则 $a$ 为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小零点． 若 $f(x) \approx 0$ ，则记 $E=\{x \mid f(x)=0, x \in[a, b]\}$ 。显然 $E$ 为非空有界数集。由确界原理，$E$ 有下确界，记 $x_{0}=\inf E$ ，则 $x_{0}=\inf E$ 为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小零点。