上册 2.3 函数的零点 第8题
📝 题目
8．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 卜单调增加，且 $f(0) \geqslant 0, f(1) \leqslant 1$ ．证明：在 $[0,1]$ 上必存在 $x_{0}$ ，使
$f\left(x_{0}\right)=x_{0}^{3}$ ．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
方法 1：与题 6（2）类似，用区间套定理证明．
方法 2：记 $M=\left\{x \mid f(x) \leqslant x^{3}, x \in[0,1]\right\}$ ，则 $M$ 非空。记 $m=\inf M$ ．下用反证法证明 $f(m)=m^{3}$ ．
若命题不成立，则 $f(m)x^{3}, f(x)-f(m)>r+x^{3}-m^{3} .
$$
由于 $y=x^{3}$ 连续，所以 $\forall r>0$ ，存在 $x^{\prime}$ 使 $x^{\prime 3}-m^{3}+r>0$ ，即 $f\left(x^{\prime}\right)=f(m)$ 与 $f(x)$ 的单调性矛盾。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义集合M并分析其性质
定义集合 $M = \{ x \in [0,1] \mid f(x) \leq x^3 \}$。由于 $f(1) \leq 1 = 1^3$，所以 $1 \in M$，故 $M$ 非空。令 $m = \inf M$，则 $m \in [0,1]$。
提示：注意 $M$ 的定义中不等式方向，以及 $m$ 是下确界而非最小值。
步骤 2/5
目标：证明 $m$ 属于 $M$
由下确界定义，存在序列 $x_n \in M$ 使得 $x_n \to m$。由于 $f$ 单调增加，对任意 $x \in [0,1]$，$f(x)$ 存在左右极限，但 $f$ 不一定连续。然而，由 $x_n \in M$ 有 $f(x_n) \leq x_n^3$。取极限，利用 $f$ 的单调性可得 $f(m) \leq \liminf_{n\to\infty} f(x_n) \leq \liminf_{n\to\infty} x_n^3 = m^3$，故 $m \in M$。
提示：这里需要利用单调函数的性质：$f(m) \leq \liminf f(x_n)$，因为 $x_n \to m$ 且 $f$ 单调增。
步骤 3/5
目标：反证法假设 $f(m) < m^3$
假设 $f(m) < m^3$，则存在 $r > 0$ 使得 $f(m) = m^3 - r$。由于 $m$ 是 $M$ 的下确界，对任意 $x < m$，有 $x \notin M$，即 $f(x) > x^3$。
提示：注意 $m$ 是下确界，所以任何小于 $m$ 的数都不属于 $M$。
步骤 4/5
目标：利用单调性导出矛盾
对任意 $x \in (0, m)$，由 $f$ 单调增有 $f(x) \leq f(m)$？实际上，因为 $x < m$，$f(x) \leq f(m)$？注意单调增加意味着 $x < m$ 时 $f(x) \leq f(m)$。但由 $x \notin M$ 得 $f(x) > x^3$，所以 $x^3 < f(x) \leq f(m) = m^3 - r$，即 $x^3 < m^3 - r$。令 $x \to m^-$，则 $m^3 \leq m^3 - r$，矛盾。
提示：这里的关键是 $f(x) \leq f(m)$ 与 $f(x) > x^3$ 结合得到 $x^3 < m^3 - r$，取极限后矛盾。
步骤 5/5
目标：证明 $f(m) = m^3$
由反证法，假设 $f(m) < m^3$ 导致矛盾，故必有 $f(m) \geq m^3$。但由 $m \in M$ 知 $f(m) \leq m^3$，因此 $f(m) = m^3$。取 $x_0 = m$，即得 $f(x_0) = x_0^3$。
提示：注意 $m \in M$ 已经证明，所以 $f(m) \leq m^3$ 成立。
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