上册 2.3 函数的零点 第7题
📝 题目
7．证明下列命题。
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，对于任意的 $x \in[a, b]$ ，有 $f(x) \in(a, b)$ ，且 $f^{\prime}(x) \neq 1$ 。证明：存在唯一的 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f(\xi)=\xi$ ．
（2）设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)>g(a), f(b)
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）记 $F(x)=f(x)-x$ ．由题意知 $a0, F(b)=f(b)-b<0$ ．由零点存在定理，$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $F(\xi)=0$ ，即 $f(\xi)=\xi$ ．
由 $f^{\prime}(x) \neq 1$ 知 $F^{\prime}(x) \neq 0$ 。假设 $F(x)$ 在 $(a, b)$ 内有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $a0, F(b)=f(b)-g(b)<0$ 。由零点存在定理， $\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $F(\xi)=0$ ．于是 $f(\xi)=g(\xi)$ ．
（3）记 $F(x)=f(x)-x^{n}$ ，则 $F(0)=f(0) \geqslant 0, F(1)=f(1)-1 \leqslant 0$ ．
若 $F(0)=0$ 或 $F(1)=0$ ，则结论成立．否则 $F(0) F(1)<0$ ，由介值定理，存在 $\xi_{n} \in[0,1]$ ，使得 $f\left(\xi_{n}\right)=\xi_{n}^{n}$.
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造辅助函数并分析端点值
对于(1)，令 $F(x)=f(x)-x$。由条件 $f(x) \in (a,b)$ 得 $a0$，$F(b)=f(b)-b<0$。
提示：注意 $f(x)$ 的值域在 $(a,b)$ 内，所以 $f(a)>a$ 且 $f(b)
步骤 2/7
目标：应用零点存在定理得到存在性
由于 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续（因为 $f$ 可导则连续），且 $F(a)>0$，$F(b)<0$，由零点存在定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $F(\xi)=0$，即 $f(\xi)=\xi$。
公式：零点存在定理：若 $F(a)F(b)<0$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $F(\xi)=0$。
提示：确保 $F$ 在闭区间上连续。
步骤 3/7
目标：利用导数条件证明唯一性
由 $f'(x)\neq 1$ 得 $F'(x)=f'(x)-1\neq 0$。假设存在两个不同的零点 $x_1
公式：罗尔定理：若 $F(x_1)=F(x_2)$，则存在 $\eta$ 使 $F'(\eta)=0$。
提示：反证法，注意 $F$ 可导。
步骤 4/7
目标：构造辅助函数并分析端点值（第二题）
对于(2)，令 $F(x)=f(x)-g(x)$。由条件 $f(a)>g(a)$ 得 $F(a)>0$；$f(b)
提示：注意 $F$ 在端点异号。
步骤 5/7
目标：应用零点存在定理得到结论
由于 $f,g$ 连续，$F$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $F(a)>0$，$F(b)<0$，由零点存在定理，存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $F(\xi)=0$，即 $f(\xi)=g(\xi)$。
公式：零点存在定理
提示：无需唯一性。
步骤 6/7
目标：构造辅助函数并分析端点值（第三题）
对于(3)，令 $F(x)=f(x)-x^n$，其中 $n$ 为自然数。由 $0\le f(x)\le 1$ 得 $F(0)=f(0)\ge 0$，$F(1)=f(1)-1\le 0$。
提示：注意 $0^0$ 在 $n=0$ 时未定义，但 $n$ 是自然数，通常 $n\ge 1$，所以 $0^n=0$。
步骤 7/7
目标：分类讨论并应用介值定理
若 $F(0)=0$ 或 $F(1)=0$，则取 $\xi_n=0$ 或 $\xi_n=1$ 即得 $f(\xi_n)=\xi_n^n$。否则 $F(0)>0$ 且 $F(1)<0$，由介值定理（零点存在定理），存在 $\xi_n\in(0,1)$ 使得 $F(\xi_n)=0$，即 $f(\xi_n)=\xi_n^n$。
公式：介值定理：若 $F(0)F(1)<0$，则存在 $\xi_n$ 使 $F(\xi_n)=0$。
提示：注意 $F$ 在端点可能为零，此时结论平凡。
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